微专题17 圆锥曲线压轴小题（解析版）.docxVIP

微专题17圆锥曲线压轴小题

秒杀总结

1.求的离心率(或离心率的取值范围)，常见有以下方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

③几何法：寻找几何关系，将问题转化

④坐标法：一般套路将坐标代入曲线求解

2.解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：

①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；

②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.

典型例题

例1．（2022·新疆·乌市八中高三阶段练习（文））双曲线的焦距为4，圆与双曲线及的一条渐近线在第一象限的交点分别为，，若点的纵坐标是点纵坐标的2倍，则的方程为（???????）.

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意得到，分别用圆的方程和双曲线的方程及渐近线，联立方程组，求得的坐标，结合，求得，进而求得双曲线的方程.

【详解】

由题意，双曲线的焦距为4，

可得，即，即，

又由双曲线的一条渐近线方程为，

联立方程组，整理得，即，可得，

又由方程组，整理得，

即，可得，

因为点的纵坐标是点纵坐标的2倍，可得，解得，

所以，

所以双曲线的方程为.

故选：D.

例2．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

设椭圆的左焦点，由已知条件知四边形为矩形，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，然后利用对勾函数的值域得到的范围，然后由求解.

【详解】

如图所示：

设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，

又，即，所以四边形为矩形，，

设，，在直角中，，，

得，所以，令，得，

又，得，所以，

所以，即，所以

所以椭圆的离心率的取值范围为，

故选：B

例3．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知圆为圆上两个动点，且为弦AB的中点，，，当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围是（???????）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先确定点是在以O为圆心，1为半径的圆上，根据当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，可知点应在以的中点为圆心，2为半径的圆外，由此可列出关于参数的不等式，即可求得答案.

【详解】

连接,则,

所以点M在以O为圆心，1为半径的圆上，

设的中点为，则，且,

因为当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，

所以以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相离，

故，解得或，

即，

故选:A.

例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.若对于图象上的任意一点，在的图象上总存在一点，满足，且.则实数（???????）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

设点，点，分类讨论和两种情况，结合已知条件可以得到的关系式，分析化简知，代入化简即可得解.

【详解】

设点，点

当时，点，根据指数函数与对数函数的性质知，此时，显然满足条件；

当，，由，知，即，即（*）

又，知，即

将（*）式代入，得

由于，有

因此有，即，即

由于，所以（*）式可知不满足条件，则有

代入（*）式得

所以，故

故选：B

例5．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线：，，分别为左?右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（???????）

A．双曲线的渐近线方程为

B．点的运动轨迹为双曲线的一部分

C．若，，则

D．不存在点，使得取得最小值

【答案】C

【解析】

【分析】

根据双曲线的方程直接写出渐近线方程判定A；由圆的切线长定理和双曲线的定义可求得的横坐标，可判定B；由双曲线的定义和余弦定理，利用等面积法求得的纵坐标，由正弦和求交点，求得的坐标，运用向量的坐标表示，可得，可判定C；若与关于y轴对称，结合双曲线的定义及对称性可得，可判定D.

【详解】

由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误；

设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得，

由双曲线的定义可得：，即，

又，解得，则的横坐标为，

由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误；

由且，解得：，

∴，则，

∴，同理可得：，

设直线，直线，联立方程得，

设△的内切圆的半径为，则，解得，即，

∴，

由，可得，解得，故，C正确；

若与关于y轴对称，则且，而，

∴，故要使的最小，只需三点共线即可，

易知：，故存在使得取最小值，D错误.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：D选项求动点到两定点的距离最值，应用双曲线的定义及对称