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江西省南昌市第十中学2025届高三上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（????）

A． B． C． D．［1，4]

2．已知（其中i为虚数单位），则复数（???）

A． B． C． D．

3．已知直线，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知正项等比数列中，，为的前n项和，，则（????）

A．7 B．9 C．15 D．20

二、多选题

5．已知二项式，则（????）

A．展开式中的系数为45

B．展开式中二项式系数最大的项是第5项

C．展开式中各项系数之和为1

D．展开式中系数最大的项是第5项或第7项

三、单选题

6．某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（????）种不同的方法.

??

A．120 B．360 C．420 D．480

7．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（???）

A． B． C．2 D．

8．过椭圆上一点分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

四、多选题

9．设离散型随机变量的分布列为：

0

1

2

3

0.4

0.3

0.2

若离散型随机变量满足，则（????）

A． B．

C． D．

10．已知函数的最小正周期为，则（???）

A．

B．点是图象的一个对称中心

C．在上单调递减

D．将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象

11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（????）

A．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为

B．存在点，使得平面

C．若平面，则动点的轨迹长度为

D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为

五、填空题

12．已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是.

13．设数列满足，且，则数列前10项的和为

14．已知椭圆上有一异于顶点的点分别是椭圆的左、右顶点，且两直线的斜率的乘积为，则椭圆的离心率为．

六、解答题

15．在中,角的对边分别为,且满足.

(1)求角的值;

(2)若,求的面积.

16．已知边长为的菱形（如图1），，与相交于点，为线段上一点，将三角形沿折叠成三棱锥（如图2）．

(1)证明：；

(2)若平面，二面角的余弦值为，求的长．

17．已知椭圆C：的离心率为，且椭圆长轴长为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点的直线l（不过原点O）与C交于AB，两点，求面积的最大值．

18．已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若对任意的恒成立，求的最小值.

19．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复．

(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；

(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为；

①证明：为等比数列；

②当时，恒成立，求取值范围．

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《江西省南昌市第十中学2025届高三上学期期末考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

C

C

AD

C

A

A

ABD

ABD

题号

11

答案

ACD

1．C

【分析】本题先解不等式求出集合A、B，再结合补集和交集的定义即可求解.

【详解】因为集合或，

，

所以，

故

故选：C.

2．A

【分析】利用复数除法公式，即可求解.

【详解】由条件可知.

故选：A

3．C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.

【详解】当时，直线，则，

当时，，解得，

所以“”是“”的充要条件.

故选：C

4．C

【分析】根据等比数列的求和公式可得结果.

【详解