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长沙压轴函数新定义

1．(2021长沙中考)我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝的图象上的一对“T点”，则r＝，s＝，t＝（将正确答案填在相应的横线上）；

（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；

（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

2．（2022长沙市一中一模）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数”．

（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“X（n）函数”的打“×”．

①（m≠0）；②y＝|2x|；③y＝x2+2x﹣5

（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（2）函数”，与（m为常数，m＞0）相交于A（xA，yA）、B（xB，yB）两点，A在B的左边，xB﹣xA＝4，求m的值；

（3）若关于x的“X（n）函数”y＝ax2+bx+4（a，b为常数）经过点（﹣1，1），且n＝1，

当t﹣1≤x≤t时，函数的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝2，求t的值．

3.（2022广益第一次月考）北京冬奥会上，由于中国冰雪健儿们的发挥出色，中国金牌总数位列第三，向世界证明了中国是冰雪运动强国！青蛙公主谷爱凌发挥出色一人斩获两金一银.在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“爱凌点”，经过点的函数，称为“爱凌函数”

（1）若点是“爱凌点”，关于x的数都是“爱凌函数”，则_____，_____，_____.

（2）若关于x的函数和都是“爱凌函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值.

（3）如图，点、是抛物线上两点，其中D在第四象限，C在第一象限对称轴右侧，直线AC、AD分别交y轴于F、E两点：

①求点E，F的坐标；（用含，的代数式表示）

②若，试判断经过C、D两点的一次函数是否为“爱凌函数”，并说明理由.

4.（2022春?雅礼校级月考）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标的值与横坐标的值的平方相等的点称为“雅心点”，例如点（﹣1，1），（0，0），（，2），…都是“雅心点”，显然，这样的“雅心点”有无数个．

（1）求一次函数y＝x+2上的所有“雅心点”的坐标为；

（2）若过点（1，﹣3）的直线上恰好只有一个“雅心点”，请求出符合要求的直线解析式；

（3）若二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“雅心点”，且“雅心点”的横坐标的值都不大于2，试求实数a的取值范围．

5.（2022春?青一校级月考）已知关于x的函数y1＝2kx﹣2k（k为常数，且k≠0）与函数，定义y1与y2的“和函数”为y＝y1+y2．

（1）若k＝3，则y1与y2的“和函数”的解析式为；

（2）若y1与y2的“和函数”为y＝x2﹣bx+5，求k，b的值；

（3）若y1与y2的“和函数”的顶点为P（m，n），求n关于m的关系式．

6.（2021师大附中一模）定义：若一次函数（）与反比例函数（）满足，则我们把函数称为一次函数与反比例函数的“附中函数”。

（1）一次函数与反比例函数是否存在“附中函数”？如果存在，写出其“附中函数”，如果不存在，请说明理由。

（2）若一次函数与反比例函数（）存在“附中函数”，且该“附中函数”的图象与直线有唯一交点，求b，c的值。

（3）若一次函数（）与反比例函数（）的“附中函数”的图象与x轴有两个交点分别是A（，0），B（，0），其中，点C（3，4），求△ABC的面积S△ABC的变化范围。

7．（2021长郡一模）（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的k（（k＞0）倍，则称这样的方程为“k系方程”．如方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的两根分别为：x1＝1，x2＝2，x2＝2x1，则方程（x﹣1）（x﹣2）＝0为“2系方程”．

（1）下列方程是“3系方程”的是（填序号即可）；