新高考艺术生40天突破数学第6讲 指对幂函数（原卷版）.docxVIP

第06讲指对幂函数

【知识点总结】

一、指数的运算性质

当a0，b0时，有

(1)aman=am+n(m,n?R)； (2)(m,n?R)

(3)(am)n=amn(m,n?R)； (4)(ab)m=ambm(m?R)；

(5)(p?Q) (6)(m,n?N+)

二、指数函数

(1)一般地，形如y=ax(a0且a?1)的函数叫做指数函数；

(2)指数函数y=ax(a0且a?1)的图像和性质如表2-6所示.

y=ax

a1

0a1

图象

(1)定义域：R

(1)定义域：R

值域

(2)值域：(0,+?)

(2)值域：(0,+?)

(3)过定点(0,1)

(3)过定点(0,1)

(4)在R上是增函数.

(4)在R上是减函数.

(5)0y1?x0

y=1?x=0

y1?x0

(5)0y1?x0

y=1?x=0

y1?x0

三、对数概念

，叫做以为底的对数.

注：①，负数和零没有对数；

②；

③.

四、对数的运算性质

特殊地

五、对数函数

（1）一般地，形如的函数叫对数函数.

（2）对数函数的图像和性质，如表2-7所示.

图像

性质

（1）定义域：

（2）值域：

（3）图像过定点：

（4）在上是增函数

（1）定义域：

（2）值域：

（3）图像过定点：

（4）在上是减函数

六、幂函数的定义

一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.

注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量.

七、幂函数的图像

幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.

当时，在同一坐标系内的函数图像如图所示.

八、幂函数的性质

当时，幂函数在上是增函数，当时，函数图像是向下凸的；当时，图像是向上凸的，恒过点；当时，幂函数在上是减函数.幂函数的图像恒过点.

【典型例题】

例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则（）

A． B． C． D．

例2．（2022·全国·高三专题练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（）．

A．log32 B． C．log23 D．

例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且），其中a，b均为实数.

（1）若函数的图象经过点，，求函数的解析式；

（2）如果函数的定义域和值域都是，求的值.

例4．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算；

（2）若，求的值．

例5．（2022·全国·高三专题练习）化简求值

（1）；

（2）；.

（3）；．

（4）.

例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.

（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；

（2）解关于的不等式.

例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，

（1）当时，求的值域；

（2）若对，成立，求实数的取值范围；

（3）若对，，使得成立，求实数的取值范围．

例8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在实数上的偶函数，且，当时，，函数．

（1）判断函数的奇偶性；

（2）证明：对任意，都有；

（3）在同一坐标系中作出与的大致图象并判断其交点的个数．

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）化简的结果为（）

A．－ B．－

C．－ D．－6ab

3．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则（）

A．1 B．2 C．3 D．15

4．（2022·全国·高三专题练习）若是指数函数，则有（）

A．或 B．

C． D．且

5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，则（）

A． B． C． D．3

6．（2022·浙江·高三专题练习）函数，且a≠1)的图象经过点，则f(-2)=（）

A． B． C． D．9

7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝，则此函数图象上关于原点对称的点有（）

A．0对 B．1对

C．2对 D．3对

8．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是（）

A． B． C． D．

9．（2022·全国·高三专题练习）若满足不等式，则函数的值域是（）

A． B． C． D．

10．（2022·全国·高三专题练习）定义运算，若函数，则的值域是（）

A． B． C． D．

11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的值域为（）

A． B． C． D．

12．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（）

A． B． C． D．

13．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基