2025年高中数学对数的知识点总结 .pdfVIP

君子忧道不忧贫。——孔丘

高中数学对数的知识点总结

一、对数的定义

1.对数的概念

对数是指数的逆运算。设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a

为底b的对数”。其中a称为底数，b称为真数。即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。例如，

log₂8=3，即等式2^3=8成立。

2.对数的性质

（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。

（2）底数为正数时，即a0,且a≠1时

⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当

b=c。即对于任意正数b,0a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。

⒉对于任意正数a，b，c，当a0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。

⒊对于任意正数a，b，c，当a0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。

⒋对于任意正数a，b，当a0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。

3.对数的求值

对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。

4.对数的应用

对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。在科学、工程、经济和社

会等领域中，对数都有着重要的作用。例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领

域等，都用到对数。

二、对数的基本概念

1.对数方程的解法

对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。分为以下几种类型：

（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x

的值。

（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。

2.对数不等式的解法

君子忧道不忧贫。——孔丘

对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。

对数不等式常见的类型有以下几种：

（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。

3.对数方程组的解法

对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解

法，求解出方程组的解集。

4.对数函数的图象和性质

对数函数的图象是指对数函数关于坐标轴的图形，对数函数的性质包括增减性和奇偶性。

5.对数量级的估算

对数量级的估算是通过对数的性质和运算，快速估算不确定的计算结果，解决实际问题。

三、对数方程与不等式的应用

1.对数方程与不等式的应用

对数方程与不等式的应用可以帮助解决实际生活中的问题，例如物体的增长和减少、声音

的传播、化学反应中的速率等。

2.对数函数的应用

对数函数的应用包括在科学、工程和经济中的很多实际问题。例如在生物学、物理学，经

济学等领域中，对数函数的应用是非常广泛的。

3.对数方程与不等式的实际问题

对数方程与不等式的实际问题是通过对数的性质和方程的解法，解决一些实际问题，例如

化学反应速率、声音传播速度等问题。

四、常用对数及其换底公式

1.常用对数

常用对数是以10为底的对数，它的特点是log₁₀10=1。

2.自然对数

自然对数是以e为底的对数，它的特点是logₑe=1。其中e≈2.718。

3.换底公式

百川东到海，何时复西归?少壮不努力，老大徒伤悲。——汉乐府

换底公式是把对数的底数换为其它底数的对数公式。换底公式包括两种：