曲面积分与曲线积分.pptVIP

10．2对坐标的曲线积分01第二类曲线积分的定义、一、对坐标的曲线积分的概念与性质02对坐标的曲线积分的性质二、对坐标的曲线积分的计算两类曲线积分之间的联系定义的推广一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功：设在xOy面内有一个质点，在变力F(x,y)?P(x,y)i?Q(x,y)j的作用下从点A沿光滑曲线L移动到点B，试求变力F(x,y)所作的功．OxyABF(x,y)L一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功：OxyABL用点A?A0，A1，A2，···，An?1，An?B把L分成n个小弧段，A1A2AkAk+1An-1F(xk,yk)显然，变力F(x,y)沿有向小弧段AkAk+1所作的功可以近似为?[P(xk,yk)costk?Q(xk,yk)sintk]?sk．则于是，变力F(x,y)所作的功这里t?t(x,y)，{cost,sint}是曲线L在点(x,y)处的与曲线方向一致的单位切向量．从而对坐标的曲线积分的定义：设L为xOy面上一条光滑有向曲线，{cost,sint}是与曲线方向一致的单位切向量，函数P(x,y)、Q(x,y)在L上有定义．如果下列二式右端的积分存在，我们就定义对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分．定义的推广：设G为空间内一条光滑有向曲线，{cosa,cosb,cosg}是曲线在点(x,y,z)处的与曲线方向一致的单位切向量，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在G上有定义．我们定义(假如各式右端的积分存在)对坐标的曲线积分的简写形式：对坐标的曲线积分的性质：添加标题如果把L分成L1和L2，则添加标题设L是有向曲线弧，?L是与L方向相反的有向曲线弧，则二、对坐标的曲线积分的计算应注意的问题：下限a对应于L的起点，上限b对应于L的终点，a不一定小于b．定理：设P(x,y)、Q(x,y)在光滑有向曲线L上连续，L的参数方程为当参数t单调在由a变到b时，点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B，则若空间曲线G由参数方程x?j(t)，y=y(t)，z?w(t)给出，曲线的起点对应于t=a，终点对应于t=b，那么曲线积分讨论：如何计算？{P[j(t),y(t),w(t)]j?(t)?Q[j(t),y(t),w(t)]y?(t)?R[j(t),y(t),w(t)w?(t)]}dt．提示：B(1,1)的一段弧．解第一种方法：以x为积分变量．L分为AO和OB两部分．因此yxO1-11B(1,1)A(1,-1)B(1,1)的一段弧．yxO1-11B(1,1)A(1,-1)解第二种方法：以y为积分变量．L的方程为x?y2，y从?1变到1．因此x?y2(1)L为半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周；(2)L为从点A(a,0)沿x轴到点B(?a,0)的直线段．q从0变到?．解(1)L的参数方程为x?acosq，y?asinq，xyOA(a,0)B(?a,0)(2)L的方程为y?0，x从a变到?a．因此因此(3)有向折线OAB，顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)．OxyA(1,0)B(1,1)y?x2x?y2(1)抛物线y?x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；(2)抛物线x?y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；解(1)L：y?x2，x从0变到1．所以(2)L：x?y2，y从0变到1．所以**