新高考艺术生40天突破数学第14讲 等差数列、等比数列基本量（解析版）.docxVIP

第14讲等差数列、等比数列基本量

【知识点总结】

一、基本概念

1.数列

(1)定义.

按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.

(2)数列与函数的关系.

从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在中,当自变量时,所对应的函数值就构成一数列,通常记为,所以数列有些问题可用函数方法来解决.

2.等差数列

(1)定义.

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示,即.

(2)等差数列的通项公式.

若等差数列的首项是,公差是,则其通项公式为,是关于的一次型函数.或,公差(直线的斜率)().

(3)等差中项.

若成等差数列,那么叫做与的等差中项,即或.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.

(4)等差数列的前项和(类似于),是关于的二次型函数(二次项系数为且常数项为0).的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上.

3.等比数列

(1)定义.

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母表示,即.

(2)等比数列的通项公式.

等比数列的通项,是不含常数项的指数型函数.

(3).

(4)等比中项

如果成等比数列,那么叫做与的等比中项,即或(两个同号实数的等比中项有两个).

(5)等比数列的前项和

二、基本性质

1.等差数列的性质

(1)等差中项的推广.

当时,则有,特别地,当时,则有.

(2)等差数列线性组合.

①设是等差数列,则也是等差数列.

②设是等差数列,则也是等差数列.

(3)等差数列的单调性及前项和的最值.

公差为递增等差数列,有最小值;

公差为递减等差数列,有最大值;

公差为常数列.

特别地

若,则有最大值(所有正项或非负项之和);

若,则有最小值(所有负项或非正项之和).

(4)其他衍生等差数列.

若已知等差数列,公差为,前项和为,则为等差数列,公差为.

3.等比数列的性质

(1)等比中项的推广.

若时,则,特别地,当时,.

(2)①设为等比数列,则(为非零常数),,仍为等比数列.

②设与为等比数列,则也为等比数列.

(3)等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定).

当或时,为递增数列;

当或时,为递减数列.

(4)其他衍生等比数列.

若已知等比数列,公比为,前项和为,则为等比数列,公比为(当时,不为偶数).

4.等差数列与等比数列的转化

(1)若为正项等比数列,则为等差数列.

(2)若为等差数列,则为等比数列.

(3)若既是等差数列又是等比数列是非零常数列.

【典型例题】

例1．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（）

A．－24 B．－3

C．3 D．8

【答案】A

【详解】

根据题意得

，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，

解得d＝0(舍去)，d＝－2，

所以数列{an}的前6项和为.

故选：A

例2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，则（）

A．38 B．50 C．36 D．45

【答案】D

【详解】

．

故选：D

例3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为S3=a2+10a1，

所以a2+a3=a2+10a1，

即a3=9a1，即=9a1，

解得=9，

又因为a5=9，

所以=9，

解得，

故选：C.

例4．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5=（）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解析:∵数列{an}为等比数列,且其前n项和记为Sn,

∴S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.

∵S10∶S5=1∶2,即S10=S5,

∴等比数列S5,S10-S5,S15-S10的公比为=-.

∴S15-S10=-(S10-S5)=S5.

∴S15=S5+S10=S5.

∴S15∶S5=.

故选：A.

例5．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）

A．3