黑龙江省龙东地区2025届高三上学期期末考试数学试题（解析版）.docx

黑龙江省龙东地区2025届高三上学期期末考试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】根据题意，，.

故选：A.

2.已知复数，若是纯虚数，则实数（）

A. B. C.2 D.3

【答案】C

【解析】由于，故，所以，解得.

故选：C.

3.若一个圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为，则该圆台的侧面积为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】圆台的轴截面如下图：

因为母线与下底面所成的角为，所以母线长为，

所以圆台的侧面积为：.

故选：D.

4.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】由题意可得，

由于在上单调递增，故，

因此恒成立，故，

由于，故，

故选：B.

5.已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为，其中m是正常数，若经过时间，该物质的能量由减少到，则再经过时间，该物质的能量为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】设的能量为，则，又经过时间，该物质的能量由减少到，所以，所以，

则再经过时间时，该物质的能量为.

故选：C.

6.已知定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则（）

A. B.1 C.2 D.3

【答案】A

【解析】根据题意有，，故，从而.

所以.

故选：A.

7.已知锐角，满足，，则的最小值为（）

A2 B.3 C.5 D.

【答案】A

【解析】由题意得，

故.

于是，当且仅当时取等号，

故选：A.

8.已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为．若双曲线的右支上存在点，使得，且的面积为，为锐角，则双曲线的离心率（）

A. B.2

C. D.

【答案】C

【解析】设，则，从而.

而在双曲线的右支上，故，从而，即.

同时，由于，故.

移项可得，两边除以就得到.

所以，从而，即.

两边平方即得，整理得到.

去分母后即可得到关于的方程.

直接计算可得，故该方程等价于.

从而或，将这两个方程分别看作关于的一元二次方程，即可分别解得和.

同时，由于为锐角，故，所以，故.

而，

故符合条件的解只有一个.

而，，所以.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.下列说法正确的是（）

A.已知随机变量，若，则

B.若随机变量（其中），，则

C.若事件，且，则

D.若随机变量，且，则

【答案】AC

【解析】对于A，由于，故，故A正确；

对于B，由于，故，解得，故B错误；

对于C，，且，则，故C正确；

对于D，，故，进而可得，故D错误.

故选：AC.

10.如图，在棱长为2的正方体，中，点分别是梭，，，的中点，则下列说法正确的是（）

A.若正方体的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为

B.异面直线与所成角的余弦值为

C.平面和平面分正方体成三部分的体积由小到大的比值为1：8：16

D.平面和平面之间的距离为

【答案】ABD

【解析】对于A,正方体的外接球的直径为,故外接球的半径为，故体积为，故A正确，

对于B，由于,因此为异面直线与所成角或其补角，,由余弦定理可得,故B正确；

对于C，,延长和相交于点,由于是的中点，,所以是的中点，同理可知与也相交于点，故为三棱台，因此

，因此平面和平面之间的体积为,

因此三部分的体积由小到大的比值为1：7：16，C错误；

对于D，由于,故，平面，平面，故平面，同理由可得平面，平面，故平面平面，

因此到平面的距离即为平面和平面之间的距离，

,故到平面的距离为，故D正确，

故选：ABD

11.已知曲线C：，则（）

A.曲线C的图象关于x轴对称

B.曲线C上任意一点的横坐标的最小值为

C.若点在曲线C上，则

D.若直线与曲线C有三个交点，则实数k的取值范围为

【答案】ACD

【解析】对于A；由，可得，

所以曲线C的图象关于x轴对称，故A正确；

对于B；令，可得，

所以函数在上单调递增，且，

又，所以，所以，

所以曲线C上任意一点的横坐标的最小值为，故B错误；

对于C；若点在曲线C上，则，

令，求导得，

，

求导可得，

所以在上单调递增，又，

所以当时，，即，所以在上单调递减，

当时，，即，所以在上单调递增，

所以，所以，

所以，所以，故C正确；

若直线与曲线C有三个交点，所以在上有三个解，

显然时，方程不成立，所以在上有三个解，

令，则，

令，求导可得，

当时，，所以在上单调递增，