第十七章-----在无界区域上定义的函数市公开课一等奖省赛课获奖课件.pptx

§1.无界集测度

知行1301毕文彬

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有界集测度

无界集测度

无界集测度性质

证实

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可测集性质有界开集测度

§6§1

可测集§5有界集§2有界闭集测度

外测度§4§3内测度

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定义1:区间(a,b)测度，就是它长b-a，记为

m(a,b)=b-a

显然总有m(a,b)0

定义2:设G是不空有界开集，则其一切组成区间之

长和称为G测度。即

mG=∑mδk

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定义3:设F是一不空有界闭集，S=[A,B]是包含F最

小闭区间，则定义F测度

mF=B-A-m[CBF]

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定义4:有界集E内测度m*E是一切可能含在E中闭集测

度上确界，即

k

m*E=sup{mF}

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定义5:有界集E外测度m*E是一切可能包含E有界开集

测度上确界，即

*

mE=inf{mG}

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定义6:假如有界集E外测度和内测度相等，则

称E是一个可测集。这时E外测度和内测度数

值就称作E测度，记为mE：

*

mE=mE=m*E

尤其，对于一切有界开集和有界闭集，其外

测度和内测度均相等

mF=m*F=m*F

mG=m*G=m*G

即，一切有界开集和有界闭集都是可测集

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设S=(a,b)是基本集(有界)，E,Ei⊂S(i=1,2...)均为

有界可测集，则有CSE=S-E,E1∩E2,E1∪E2,E1-E2,和

∩Ei,∪Ei均可测，且

1)mE≥0,且E=Φ时，mE=0(非负性)

2)若E1⊂E2，则mE1≤mE2(单调性)

m(E2-E1)=mE2-mE1

3)m(∪Ei)≤∑mEi(不完全可加

性)

4)若Ei∩Ej=Φ(i≠j,i,j=1,2,3...)，则

m(∪Ei)=∑mEi(完全可加性)

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设集E含在(-∞,+∞)中，假如对于任意自然数n，集

E(n)=[-n,n]∩E

为可测，则称E是可测集。

极限

mElimmE(n)

n

称为这个集测度。

注：对于无界集，上述性质(非负性，单调性，不完全可加

性，完全可加性)一样成立。

mE

定理:设E1E2E3...为可测集而E为其交集。假如1，则

mElimmEn

n第10页

即证：

mEmEk

k1