专题12 阿波罗尼斯圆和蒙日圆问题（2大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（解析版）.pdf

专题12阿波罗尼斯圆和蒙日圆问题

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题型01阿波罗尼斯圆1

题型02蒙日圆13

题型01阿波罗尼斯圆

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【解题规律提分快招】

一、阿波罗尼斯圆

1.阿波罗尼斯圆的定义

PA

A,BP=ll0l¹1P

在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之

PB

l=1PAB

为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线）

2.阿波罗尼斯圆的证明

PA

Px,y,A-a,0,Ba,0=ll0l¹1P

设1．若（且），则点的轨迹方程是

PB

æl2+1ö22æ2alö2æl2+1ö2al

çx-l2-1a÷+y=çl2-1÷，其轨迹是以çl2-1a,0÷为圆心，半径为r=l2-1的圆．

èøèøèø

证明：由PA=lPB及两点间距离公式，可得x+a2+y2=l2éx-a2+y2ù，

ëû

化简可得1-l2x2+1-l2y2+21+l2ax+1-l2a2=0①，



1l=1x=0AB

（）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线；

2a1+l2x

2l¹1①2222

（）当时，方程两边都除以1-l得x+y+2+a=0，化为标准形式即为：

1-l

æl2+1ö22æ2alö2æl2+1ö2al

x-a+y=∴Pa,0r=

çl2-1÷çl2-1÷，点的轨迹方程是以çl2