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2025年中考数学总复习《二次函数综合压轴题（平行四边形问题）》专项测试卷含答案

学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________

1．如图1，抛物线的顶点C在x轴正半轴上，直线与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点P是抛物线上一点，若，求点P的坐标；

(3)如图2，若点M是位于直线下方抛物线上一动点，以为邻边作平行四边形，当平行四边形的面积最大时，请直接写出平行四边形的面积S及点M的坐标．

2．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作轴，交于点D．

(1)求该抛物线的函数关系式；

(2)当是直角三角形时，求点P的坐标；

(3)若点E是抛物线对称轴上一点，点F在抛物线上，问是否存在以A、B、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接．

(1)求的长；

(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式．

4．如图1，抛物线与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，点M为抛物线上一动点，点M的横坐标为m，过点M作轴交抛物线于另一个点E，作轴，垂足为F，直线交y轴于点D．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若，当m为何值时，四边形是平行四边形；

(3)如图2，点P是抛物线对称轴上的一动点，当最大时，求点P的坐标．（请直接写出结果）

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D坐标为，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），且B坐标为，与y轴交于点C．

(1)求抛物线和直线的解析式；

(2)在抛物线对称轴上找一点M，使M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，求出点M的坐标及最大绝对值；

(3)点P是x轴上的一个动点，过P作直线交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的表达式及点的坐标；

(2)已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形．

①当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标；

②当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值．

7．如图，抛物线经过点，交轴于另一点（点在点点的左侧），点是该抛物线上的动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点在直线下方且时，请求出点的横坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

(4)若点在轴上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标；

(2)如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值；

(3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图1，抛物线C：交x轴于A，B两点，交y轴于C点，且．

(1)直接写出抛物线C的解析式；

(2)D在第二、四象限的抛物线C上，在抛物线C的对称轴上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，将抛物线C向右平移1个单位长度，得到抛物线，直线．交抛物线于M，N两点，直线与抛物线都只有唯一公共点，直线分别交x轴于S，T两点，若的面积为，求k的值．

10．我们给出如下定义：在平面直角坐标系中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如图，抛物线都是抛物线的过顶抛物线，设的顶点为，的对称轴分别交、于点、，点是点关于直线的对称点．

(1)如图1，如果抛物线的过顶抛物线为，，那么，

①，；

②如果顺次连接、、、四点，那么四边形为；

A．平行四边形????B．矩形????C．菱形????D．正方形

(2)如图2，抛物线