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河北省滁州市衡水中学2023-2024学年高三适应性调研考试数学试题

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，中，点D在BC上，，将沿AD旋转得到三棱锥，分别记，与平面ADC所成角为，，则，的大小关系是（）

A． B．

C．，两种情况都存在 D．存在某一位置使得

2．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（）

A． B．

C． D．

3．如图网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（）

A． B． C． D．

4．已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（）

A． B． C． D．

5．的展开式中的系数为（）

A． B． C． D．

6．已知函数是奇函数，则的值为（）

A．－10 B．－9 C．－7 D．1

7．若实数满足的约束条件，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

8．设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

9．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（）

A． B． C． D．

10．已知函数，则（）

A．1 B．2 C．3 D．4

11．（）

A． B． C． D．

12．若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则的值为()

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知实数满足，则的最小值是______________.

14．设，则“”是“”的__________条件.

15．设集合，，则____________.

16．对定义在上的函数，如果同时满足以下两个条件：

（1）对任意的总有；

（2）当，，时，总有成立.

则称函数称为G函数.若是定义在上G函数，则实数a的取值范围为________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数．

(Ⅰ)当时，讨论函数的单调区间；

(Ⅱ)若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．

18．（12分）椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点.

19．（12分）已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）讨论零点的个数.

20．（12分）已知点、分别在轴、轴上运动，，．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，，求的取值范围．

21．（12分）已知二阶矩阵A=abcd，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1

22．（10分）设抛物线过点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）F是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若，求的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据题意作出垂线段，表示出所要求得、角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案．

【详解】

由题可得过点作交于点，过作的垂线，垂足为，则易得，．

设，则有，，，

可得，．

，

，；

，；

，

，，

．

综上可得，．

故选：．

【点睛】

本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

2、C

【解析】

将函数解析式化简，并求得，根据当时可得的值域；由函数在上单调递减可得的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得的取值范围.

【详解】

依题意

，

则，

当时，，故函数在上单调递增，

当时，；

而函数在上单调递减，

故，

则只需，

故，解得，

故实数的取值范围为.

故选：C.

【点睛】

本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.

3、C

【解析】

利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD，算出长度.

【详解】

几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为

故选：C.

【点睛】

本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正