新高考数学二轮复习能力提升练习22 数列与不等式（原卷版）.doc

素养拓展22数列与不等式（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、数列与不等式

数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.

1.常见放缩公式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）

；

（11）

；

（12）；

（13）．

（14）．

2.数学归纳法

（1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法

注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．

（2）运用数学归纳法的步骤与技巧

①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

（1）证明：当取第一个值结论正确；

（2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确

由（1），（2）可知，命题对于从EMBEDEquation.DSMT4开始的所有正整数EMBEDEquation.DSMT4都正确

②用数学归纳法证题的注意事项

（1）弄错起始EMBEDEquation.DSMT4．EMBEDEquation.DSMT4不一定恒为1，也可能EMBEDEquation.DSMT4或3（即起点问题）．

（2）对项数估算错误．特别是当寻找EMBEDEquation.DSMT4与EMBEDEquation.DSMT4的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．

（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．

（4）关键步骤含糊不清．“假设EMBEDEquation.DSMT4时结论成立，利用此假设证明EMBEDEquation.DSMT4时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

【典例1】（2021·天津·统考高考真题）已知EMBEDEquation.DSMT4是公差为2的等差数列，其前8项和为64．EMBEDEquation.DSMT4是公比大于0的等比数列，EMBEDEquation.DSMT4．

（I）求EMBEDEquation.DSMT4和EMBEDEquation.DSMT4的通项公式；

（II）记EMBEDEquation.DSMT4，

（i）证明EMBEDEquation.DSMT4是等比数列；

（ii）证明EMBEDEquation.DSMT4

【典例2】（2020·全国·统考高考真题）设数列{an}满足a1=3，EMBEDEquation.DSMT4．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

【题型训练-刷模拟】

1.数列不等式

一、单选题

1．（2023春·北京海淀·高二人大附中校考期中）已知数列EMBEDEquation.DSMT4的前EMBEDEquation.DSMT4项和为EMBEDEquation.DSMT4，若对任意的EMBEDEquation.DSMT4，不等式EMBEDEquation.DSMT4恒成立，则实数EMBEDEquation.DSMT4的取值范围是（????）

A．EMBEDEquation.DSMT4 B．EMBEDEquation.DSMT4 C．EMBEDEquation.DSMT4 D．EMBEDEquation.DSMT4

2．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知数列EMBEDEquation.DSMT4满足EMBEDEquation.DSMT4，数列EMBEDEquation.DSMT4的前n项和为EMBEDEquation.DSMT4，若EMBEDEquation.DSMT4对任意EMBEDEquation.DSMT4恒成立，则EMBEDEquation.DSMT4的取值范围是（????）

A．EMBEDEquation.DSMT4 B．EMBEDEquation