新高考数学二轮复习能力拓展练习02 函数的综合应用（解析版）.doc

能力拓展02函数的综合应用

【命题方向目录】

命题方向一：函数与数列的综合

命题方向二：函数与不等式的综合

命题方向三：函数中的创新题

命题方向四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）

命题方向五：倍值函数

命题方向六：函数不动点问题

命题方向七：函数的旋转问题

命题方向八：函数的伸缩变换问题

命题方向九：V型函数和平底函数

【典例例题】

命题方向一：函数与数列的综合

例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，，是数列的前100项和，且满足，则不可能是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对于A，因为，所以，又，所以数列是递减数列，

因此有，故符合题意；

对于B，，可得，

因为，所以，以此类推得，所以，故符合题意；

对于C，，则，时，，

函数在单调递增，所以，

又，，，所以，所以有，故符合题意；

对于D，因为，所以，所以时，，

函数在上的递增函数，又，

，以此类推得，不符合题意，

故选：D

例2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，.则下列说法正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设，

∵，

当时，得；则在单调递增，

当时，，则函数在上单调递减，

且，可得，

∴，即数列为单调递增数列，

又，，

根据数列单调性可得：，∴.

故选：B.

例3．（2023·北京·高三校考强基计划）已知数列满足，其中，记表示数列的前n项乘积，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为，依次有.

而，设，

则，故为上的减函数，

故即，故.

又因为，故，进而,

故，所以，所以.

因此有，

故选：C.

变式1．（2023·全国·高三专题练习）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素（也称互质）的正整数的个数，例如，，．则（????）

A．数列单调 B．

C．数列是等比数列 D．

【答案】C

【解析】，，不单调，A错；

，B错误；D错误；

易知所有偶数与不互素，所有奇数与互素，，，

所以，即数列是等比数列，C正确．

故选：C．

变式2．（2023·北京·高三强基计划）已知实数．数列满足对任意的，有现知，则可能的的个数为（????）

A．2021个 B．个 C．个 D．以上答案都不对

【答案】B

【解析】考虑函数的迭代函数的图象与直线的公共点，则所求的个数即的图象与直线的公共点个数．

递推可得所求的个数为个．

故选：B.

命题方向二：函数与不等式的综合

例4．（多选题）（2023·山东潍坊·三模）已知函数，实数满足不等式，则的取值可以是（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】CD

【解析】因为，

所以，

所以关于对称，

，

当且仅当，即时等号成立，

又因，所以恒成立，则是增函数，

因为，所以，

则.

故选：CD.

例5．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知，若正数满足，则下列不等式可能成立的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】，，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增；

对于A，若，由，可得：，

若，，则，，，

即A可能成立，A正确；

对于B，若，由，可得：，

若，，则，，

，，即B可能成立，B正确；

对于C，若，则，又在上单调递增，

，即C可能成立，C正确；

对于D，若，则，又在上单调递减，

，即D不可能成立，D错误.

故选：ABC.

例6．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知正数，满足，则下列不等式正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】因为正数，满足，

所以，构造函数，，

令，恒成立，所以在上单调递增，

由复合函数的单调性可知在上单调递增，

所以在上单调递增，由，可得，

对于A，，所以，故A错误

对于B，由，可得，所以，故B正确

对于C，由，可得，则，故C错误

对于D，由，可得，，所以，所以，故D正确．

故选：BD．

变式3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列不等式成立的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】对于选项A，因为，所以，，

所以，故选项A错误；

对于选项B，设，则，

又因为，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即：，

又因为，所以.故选项B正确；

对于选项C，，

因为，所以，

所以，即：.故选项C正确；

对于选项D，因为，所以，所以，

又因为，所以，所以，所以.故选项D正确.

故选：BCD.

变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，实数，满足不等式，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】利用函数的性质可以判断为奇函数，

由可得：；

，

利用导数可知其在上单调递增，从而可得：，

即有：.

显然可得：选项AC成立，选项D错误；

令，，可验证选项B错误