新高考数学二轮复习能力拓展练习07 不等式恒成立问题（10种考向）（解析版）.doc

能力拓展07不等式恒成立问题

【命题方向目录】

命题方向一：直接法

命题方向二：端点恒成立

命题方向三：端点不成立

命题方向四：分离参数之全分离，半分离，换元分离

命题方向五：洛必达法则

命题方向六：同构法

命题方向七：必要性探路

命题方向八：max，min函数问题

命题方向九：构造函数技巧

命题方向十：双变量最值问题

【方法技巧与总结】

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，，，．

（1）若，，有成立，则；

（2）若，，有成立，则；

（3）若，，有成立，则；

（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集．

4、法则1若函数和满足下列条件：

（1）及；

（2）在点的去心HYPERLINK邻域内，与可导且；

（3），

那么=．

法则2若函数和满足下列条件：（1）及；

（2），和在与上可导，且；

（3），

那么=．

法则3若函数和满足下列条件：

（1）及；

（2）在点的去心HYPERLINK邻域内，与可导且；

（3），

那么=．

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

（1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立．

（2）洛必达法则可处理，，，，，，型．

（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．

（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．

，如满足条件，可继续使用洛必达法则．

【典例例题】

命题方向一：直接法

例1．（2023·辽宁·高三本溪高中校联考阶段练习）设且，函数，．

(1)证明：恒成立；

(2)若对，恒成立，求a的取值范围．

【解析】（1）证明：的定义域为，且，

当时，，时，，

所以在区间（0，1）内单调递减，在区间内单调递增．

故的最小值为，因此恒成立．

（2）①当时，取，则，即不符合题意；

②当时，取，则，即不符合题意；

③当时，由，所以，即对恒成立．

令，，且，所以对恒成立．

设，，

则，

设，

则，

由（1）知，

所以，

同理，由可推出，

所以，即在上单调递增，

又，

所以在（0，1）内单调递减，在内单调递增，

故成立．

综上a的取值范围为．

例2．（2023·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知函数若不等式对一切恒成立，则正整数的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意不等式对一切恒成立，

即对一切恒成立，

令，则，

当时，；当时，，

即在上单调递减，在上单调递增，

故，则需恒成立；

令，

当时，，当时，，

则在上单调递增，在上单调递减，

且，当时，，

取，（），

取，

即在存在唯一的零点，且，

故时，，时，，

故正整数的最大值为7，

故选：C

命题方向二：端点恒成立

例3．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数．

(1)求在处的切线方程；

(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）时，；又，则，

切线方程为：，即

（2），

则，又令，

①当，即时，恒成立，∴在区间上单调递增，

∴，∴，∴在区间上单调递增，

∴（不合题意）；

②当即时，在区间上单调递减，

∴，∴，∴在区间上单调递减，

∴（符合题意）；

③当，即时，由，

∴，使，且时，，

∴在上单调递增，∴（不符合题意）；

综上，的取值范围是；

例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.

(1)求证：在上恒成立；

(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【解析】(1)证明：因为，

设，则，

令，则

所以在上单调递增，，即

所以在上单调递增，

所以，即，所以在上单调递增，

所以

(2)当时，，

设，即，

由（1）可得

所以，从而在上单调递增，，

于是当任意的实数，在上恒成立；

当时，在上恒成立，

因为，于是，故不符合题意.

综上，实数的取值范围为.

例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中为实数，为自然对数的底数．是的导数．

（1）试讨论的极值点；

（2）①若，证明：当时，恒成立；

②