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数值积分与数值微分电子科技大学

第五章数值积分和数值微分数值积分概述Newton-Cotes求积公式Gauss求积公式

5.1数值积分概述求积公式和它的代数精度插值型求积公式

对于积分但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:如果知道f(x)的原函数F(x)，则由Newton-Leibniz公式有（1）f(x)的解析式根本不存在，只给出了f(x)的一些数值；（2）f(x)的原函数F(x)求不出来，如F(x)不是初等函数；（3）f(x)的表达式结构复杂，求原函数较困难。以上这些现象，Newton-Leibniz公式很难发挥作用，只能建立积分的近似计算方法。5.1.1求积公式和它的代数精度

上式称数值求积公式。由定积分的定义知，定积分是和的极限，若用和式近似，则可表示为基本思想：利用积分区间上一些离散点的函数值的线性组合计算定积分的近似值。无需寻求原函数。

为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义，就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。因此定义代数精度的概念:定义1.若求积公式则称该求积公式具有m次的代数精度。代数精度也称代数精确度

使其代数精度尽量高，并指出其代数精度。例设有求积公式试确定系数解：令公式依次对都精确成立，即

故该求积公式应为对有即对也精确成立，但对不能精确成立，因此该求积公式具3次代数精度。解得

若已知函数f(x)在[a,b]上一组节点值a≤x0x1…xn≤b以及函数值f(x0)，f(x1),…,f(xn)，构造f(x)的n次Lagrange插值多项式：5.1.2插值型求积公式则若记

则－－插值型求积公式Ai为求积系数。余项：（1）当f(x)取次数≤n的多项式时，R≡0，即含n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。注：（2）特别地，当f(x)≡1时，有

5.2Newton-Cotes求积公式Newton-cotes公式的导出几种低阶求积公式及其余项偶阶求积公式的代数精度复合求积公式

5.2.1Newton-Cotes公式的导出设函数f(x)∈C[a,b],将积分区间[a,b]n等分，步长h=(b-a)/n，节点xk=a+kh为等距节点。Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式。由插值型求积公式知

可得引进变换x=a+th，则有dx=hdt，xk-xj=(k-j)h，x-xj=(t-j)h，

所以插值型求积公式化为称Newton-cotes公式，式中ck(n)称柯特斯系数。记

在Newton-Cotes公式中，n=1,2,4时的公式是最常用也最重要的三个公式，称为低阶公式。1.梯形(trapezia)公式及其余项Cotes系数为求积公式为5.2.2几种低阶求积公式及其余项

上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为梯形公式的余项为即几何意义如右图：

第二积分中值定理梯形(trapezia)公式具有1次代数精度。故

2.Simpson公式及其余项Cotes系数为求积公式为

上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式。记为Simpson公式的余项：Simpson公式具有3次代数精度。即

3.Cotes公式及其余项Cotes系数为

求积公式为上式称为Cotes求积公式，也称五点公式。记为Cotes公式的余项：Cotes公式具有5次代数精度。

注：n?8时，Cotes系数出现负数，会引起误差增大，计算不稳定。因此，在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式，而是采用低阶复合求积法(下节)。Cotes系数表：nCk(n)1234581/21/21/64/61/61/83/83/81/87/9016/452/1516/457/9019/28825/9625/14425/14425/9619/288…………989/283505888/28350-928/2835010496/28350-4540/28350…

5.2.3偶阶求