人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲与练第04讲 空间向量的应用（原卷版）.doc

第4讲空间向量的应用

考点分析

考点一：直线的方向向量

?空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。

考点二：平面的法向量

如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量．

注意：

①法向量一定是非零向量；

②一个平面的所有法向量都互相平行；

③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．

考点三：平面的法向量的求法

第一步：写出平面内两个不平行的向量=(x1，y1，z1)，=(x2，y2，z2)，

第二步：设平面的法向量为，根据法向量与平面内直线垂直建立关于x、y、z的方程；

第三步：解方程组，取其中的一个解，即得法向量．（一般令一个值求出两外两个即可）

考点四：用空间向量判定直线、平面间的位置关系

①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为，．

1.若∥，即=λ，则a∥b．2.若⊥，即·=0，则a⊥b

②直线与平面的位置关系：直线L的方向向量为，平面α的法向量为，且L⊥α．

1.若∥，即=λ，则L⊥α2.若⊥，即·=0，则a∥α．

③平面与平面的位置关系：平面α的法向量为，平面β的法向量为．

1.若∥，即=λ，则α∥β2.若⊥，即·=0，则α⊥β

考点五：用空间向量方法求空间角

①求异面直线所成的角

两条异面直线所成角的求法：设直线a，b的方向向量为，，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．

②求直线和平面所成的角

设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，

则有．

③二面角的求法

若分别为面的法向量，

则二面角的平面角为的夹角或它们的补角，

考点六：用空间向量方法求点到平面的距离

A为平面α外一点(如图)，为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH．

典型例题

题型一：平面的法向量判断及求法

【例1】（2022·全国·高二课时练习）在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(???????)

A． B． C． D．

【例2】（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（???????）

A． B． C． D．

【例3】（2022·江苏·高二课时练习）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（???????）．

A．（1，，4） B．（，1，）

C．（2，，1） D．（1，2，）

【例4】（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论：

①直线的一个方向向量为；

②直线的一个方向向量为；

③平面的一个法向量为；

④平面的一个法向量为．

其中正确的个数为（???????）．

A．1 B．2 C．3 D．4

【例5】（2022·全国·高二课时练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：

（1）直线BC的一个方向向量___________；

（2）点OD的一个方向向量___________；

（3）平面BHD的一个法向量___________；

（4）的重心坐标___________.

【题型专练】

1．（2022·江苏·高二课时练习）过空间三点，，的平面的一个法向量是（???????）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）

3．（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）

4．（2022·全国·高二单元测试）若点，，，则平面ABC的一个法向量______．

5．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：

(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．

题型二：利用空间向量研究平行垂直问题

【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（???????）

A． B． C． D．

【例2】（2022·江苏·徐州市王杰中学高二阶段练习）已知平面的法向量为，若直线平面，则直线的方向向量可以为（???????）.

A．（8，6，4） B．

C． D．

【例3】（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（???????）

A．//B．C．