上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中数学（原卷版）.docx

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复旦大学附属中学2023学年第一学期高二年级期中考试

数学试卷（A）

时间：120分钟满分：150分

注：请将试题的解答全部做在答题纸的相应位置，做在试卷上无效.

一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.直线的倾斜角是__________.

2.抛物线的准线方程是__________.

3.直线过点且与直线平行，则直线方程是__________.

4.椭圆的离心率是__________.

5.过点作圆切线，则切线的方程为__________.

6.在中，，，，则顶点的轨迹方程是__________.

7.直线（为参数，）和曲线，（为参数，）交于、两点，则__________.

8.已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为__________.

9.已知双曲线，过点作直线和双曲线交于A，B两点.点A在第一象限，过点A作x轴的垂线，垂足为H，则直线倾斜角的取值范围是__________.

10.如图，圆柱的底面直径与高均为2，一平面截圆柱，其截面为椭圆，该平面与圆柱的底面所成的二面角为，该椭圆的内接六边形的最大面积为__________.

11.一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是_______.

12.已知椭圆的两个焦点为、，为该椭圆上一点，为坐标原点且，满足，则的取值范围为__________.

二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑.

13.关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（）

A关于轴对称 B.关于轴对称

C.关于轴对称 D.关于原点中心对称

14.已知直线，点、，设，，以下选项中命题都正确的为（）

（1）若，则线段的中点在直线上

（2）若，则直线与直线平行

（3）若，则点、分布在直线的两侧

（4）若，则直线与线段的延长线相交

A.（1）（2）（3） B.（2）（3）（4） C.（1）（3）（4） D.（1）（2）（3）（4）

15.是关于的二次方程的两个不同实数根，则经过两点，的直线与抛物线公共点的个数是（）

A.2 B.1 C.0 D.不确定

16.足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置P处起脚射门进球的可能性最佳（即点P对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点P，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，请你判断：每条虚线上的最一佳起脚射门点应在怎样的曲线上（）

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.已知两条直线和.

（1）讨论直线与的位置关系；

（2）当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值.

18.已知拋物线方程为.

（1）求过点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程；

（2）已知直线过焦点，且与抛物线交于A，两点，点为该抛物线准线上一点，求证：

19.如图，设直线l为公海与领海的分界线，一巡逻艇在A处发现了海面B处有一艘走私船，A与公海相距20海里.走私船可能向任一方向逃窜，若它进入公海则逃脱成功.假设走私船和巡逻艇都是沿直线航行，巡逻艇的航速是走私船航速的倍.

（1）当，，时，走私船能被截获的点在一个圆上，求这个圆的标准方程；

（2）可知非截获区域是一个圆的内部，如果此圆和分界线l没有公共点，则巡逻艇可以成功截获走私船.已知B在A的北偏东，相距海里处，为了成功截获走私船，求的最小整数值.

20.已知直线与椭圆有且只有一个公共点.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；

（3）椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值.

21.平面上，直线和相交于点，它们的夹角为.已知动点到直线与的距离之积为定值，动点的轨迹记为曲线.我们以为坐标原点，以直线与夹角的平分线为轴，建立直角坐标系，如图.

（1）求曲线的方程；

（2）当，时，直线与曲线顺次交于A、B、C、D四点