2025高考数学专项讲义第03讲圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析).docxVIP

第03讲圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程（高阶拓展、竞赛适用）

（6类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2024年新Ⅱ卷，第10题,6分

圆中切线问题

切线长

根据抛物线方程求焦点或准线

直线与抛物线交点相关问题

2023年新I卷，第6题,5分

圆中切线问题

给值求值型问题

余弦定理解三角形

2022年新I卷，第14题,5分

圆的公切线方程

判断圆与圆的位置关系

2021年新I卷，第11题,5分

切线长

直线与圆的位置关系求距离的最值

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等，分值为5-6分

【备考策略】1.熟练掌握圆中切线问题的快速求解

2.熟练掌握圆系方程的快速求解

【命题预测】本节内容是新高考卷的拓展内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习

知识讲解

一、圆中切线问题

已知圆方程为:,

若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是:

已知圆方程为:,

若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为;

已知圆方程为圆:.

(1)过圆上的点的切线方程为.

(2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为.

4.过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长度

一般方程(标准方程)

二、常见的圆系方程

1、同心圆圆系

(1)以为圆心的同心圆圆系方程:;

(2)与圆同心圆的圆系方程为:;

2、过线圆交点的圆系

过直线与圆交点的圆系方程为:

;

3、过两圆交点的圆系

过两圆

交点的圆系方程为,此圆系不含)

(1)特别地,当时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.

(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:

考点一、过圆上一点的切线问题

1．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程

2．（23-24高三下·福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（????）

A． B． C． D．

1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知圆，则过点的圆的切线方程为.

2．（11-12高二上·浙江杭州·期中）圆在点处的切线方程为（????）

A． B．

C． D．

考点二、过圆外一点的切线问题

1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）过点且与圆：相切的直线方程为

2．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为（????）

A． B．

C．或 D．或

3．（2023·全国·模拟预测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的正切值为（????）

A． B． C． D．

1．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（????）

A． B．

C． D．

2．（22-23高二上·湖南岳阳·期中）经过向圆作切线，切线方程为（????）

A．

B．

C．或

D．或

3．（2024高三·全国·专题练习）设过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（????）

A． B． C． D．

考点三、切点弦方程

1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为.

2．（2024·浙江·模拟预测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（????）

A． B． C． D．

1．（2023·全国·模拟预测）已知圆：，点，若直线分别切圆于两点，则直线的方程为（????）

A． B． C． D．

2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为.

考点四、切线长

1．（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（????）

A． B．2 C． D．

2．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（????）

A．1 B． C． D．2

1．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（????）

A．3 B． C． D．

2．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（????）

A．2 B．4 C． D．3

考点五、圆中的公切线问题（含根轴）

1．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（????）

A． B．或

C． D．或

2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（????）

A． B． C． D．

1．（2024·河北张家口