江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高三下学期开学考试 数学 含答案.docx

2024-2025学年第二学期高三年级期初学情调研测试数学参考答案

1.B2.D3.B4.D5.A6.D7.B8.A

9.AD10.ABD11.BCD12.6413.14.

15.（1）根据题意，可得如下的的列联表：

年长者

年轻人

总计

喜欢阅读电子书

6

24

30

喜欢阅读纸质书

12

18

30

总计

18

42

60

..............................................................2分

则................4分

所以有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关．.................6分

（2）由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名，

所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3

由超几何分布的分布列可得

，，

，........................10分

所以X的分布列为：

X

0

1

2

3

P

............................................11分

则期望为.?.............13分

16.（1）取的中点，连接，，

因为，所以，

又，，所以，

在正方形中，，所以，

所以，

又，所以，即，................3分

又，平面，平面，所以平面，......5分

所以四棱锥的体积为；....7分

（2）过作交于，则，结合（1）中平面，

故可建以为原点，、、所在直线为、、轴的空间直角坐标系，如图所示，

所以，，，，

故，，.......................9分

设平面的法向量为，

则，故，

取，则，，

故平面的一个法向量为，......................11分

因为平面，所以平面的一个法向量为，.......12分

所以，.......................13分

设二面角的大小为，由图可知为锐角，

所以,所以

所以二面角的平面角的正弦值为．.....................15分

17.（1）由题意，当时，，得，,....1分

当时，，①，②

①②得，....................................3分

因为，所以．则，.....5分

∵，∴，

所以是以为首项，3为公比的等比数列................6分

所以，则................8分

（2）由，

则，.............11分

所以的前项和：

..............15分

18.（1）由，，

得.

令，解得..............2分

当时，，

当时，单调递增；当时，单调递减；

当时，单调递增..............4分

当时，恒成立，在上单调递增..............5分

当时，，

当时，单调递增；当时，单调递减；

当时，单调递增..............7分

综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为........8分

（2）因为对任意，均存在，使得，

所以..............9分

当时，取得最大值，最大值为0..............10分

由（1）得，

Ⅰ）当时，在上单调递增，上单调递减

即当时，取得最大值，

解得，即..............12分

Ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

，

，又因为，所以无解；....14分

Ⅲ）当时，在单调递增区间，，

所以无解；.............15分

Ⅳ）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

又因为，所以无解