2025北京房山高三（上）期末数学试卷.docx

第PAGE1页/共NUMPAGES1页

2025北京房山高三（上）期末

数学

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集，集合，则（???）

A． B．

C． D．

2．已知复数z满足i?z＝2+i，则z的共轭复数是

A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i

3．已知，，，且，，则（???）

A． B．

C． D．

4．在的展开式中，的系数为（???）

A．15 B．-15 C．5 D．-5

5．下列函数的图象中，不是中心对称图形的是（???）

A． B．

C． D．

6．在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为（???）

A．1 B．2 C． D．3

7．已知非零平面向量，则“”是“存在非零实数，使”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角是，则三棱锥合的体积等于（???）

A． B． C．2 D．1

9．已知实数，满足，，给出下列三个结论：

①；②；③.

其中所有正确结论的序号是（???）

A．① B．② C．①③ D．②③

10．已知由正整数组成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶数的个数.若.则的最小值为（???）

A．5 B．7 C．9 D．10

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题5小题，每小题5分，共25分．

11．函数的定义域为.

12．在中，，，，则；若为边上一点，且，则.

13．已知双曲线（）的渐近线方程为，则，的一组值依次为.

14．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为.

15．已知函数，，给出下列四个结论：

①当时，方程有且只有一个实数根；

②当时，对任意，或；

③当时，对任意，；

④存在，对任意，.

其中正确结论的序号是.

解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．已知函数，且， 且的最小值为

（1）求的值；

（2）设，求函数在区间上的最大值及相应自变量的值.

17．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4S店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查.统计结果如下：

1店

2店

3店

4店

5店

6店

7店

8店

新能源汽车销售量

10

8

16

23

20

18

22

11

燃油汽车销售量

14

11

13

19

21

25

23

26

(1)若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率；

(2)若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望；

(3)新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和.试比较和的大小.（结论不要求证明）

18．已知三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形，.，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

（ⅰ）求证：平面；

（ⅱ）求与平面所成角的正弦值.

条件①：；

条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

19．已知椭圆（）过点，离心率为，一条直线与椭圆父于，两点，线段的垂直平分线为，为直线与直线的交点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若，直线是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由.

20．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若对任意，都有，求实数的取值范围；

(3)求证：存在实数，使方程有正实根.

21．已知和都是无穷数列.若存在正数，对任意的，均有，则称数列与具有关系.

(1)分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系，直接写出结论；

①，，；

②，，.

(2)设，，，试判断数列与是否具有关系.如果是，求出的最小值，如果不是，说明理由；

(3)已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与具有关系，且，，…，中至少有100个正数，求的取值范围.