专题14 阿基米德三角形与椭圆、双曲线焦点三角形内切圆问题（3大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（解析版）.pdf

专题14阿基米德三角形与椭圆、双曲线焦点三角形内切圆问题

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题型01阿基米德三角形1

题型02椭圆中焦点三角形的内切15

题型03双曲线中焦点三角形的内切23

题型01阿基米德三角形

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【解题规律提分快招】

一、阿基米德三角形

1、定义：如图所示，AB为抛物线x2=2py(p0)的弦，A(x,y)，B(x,y)，分别过A,B作的抛物线的切

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线交于点P，称△PAB为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边．

y

B

F

A

Ox

P

2、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）

1MFAB2MAMB3MNx4Sp²

性质：⊥；性质：⊥；性质：∥轴；性质：△ABM最小值为

对于点A，B:

①抛物线焦点弦与抛物线的交点

②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点

对于点M

③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点

④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点

①③①④②③②④“”

满足以上或或或的三个点所组成的三角形即为底边过焦点的阿基米德三角形

3、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）

y

A

M

P

OFx

B

1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．

2、若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点Cx0，y0，则另一顶点P的轨迹为一条直线．

3、若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．

ll

3

a

4、底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为．

a

8p

2

5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p．

æx+xxxö

6、点P的坐标为ç12,12÷；

è22pø

7、底边AB所在的直线方程为x+xx-2py-xx=0;

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