2023-2024学年北京市第四十三中学高三第二次模拟考试数学试卷含解析.docVIP

2023-2024学年北京市第四十三中学高三第二次模拟考试数学试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为4，、、分别为侧棱，，的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为（）

A． B． C． D．

2．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，以（为坐标原点）为直径的圆交双曲线于两点，若直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

3．设是等差数列的前n项和，且，则()

A． B． C．1 D．2

4．正项等差数列的前和为，已知，则=（）

A．35 B．36 C．45 D．54

5．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙?丙?丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（）

A． B． C． D．

6．在中，在边上满足，为的中点，则（）.

A． B． C． D．

7．已知函数，，的零点分别为，，，则（）

A． B．

C． D．

8．已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（）

A． B． C． D．

9．“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

11．已知集合，则全集则下列结论正确的是()

A． B． C． D．

12．已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（）

A． B．

C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为________.

14．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为________

15．（5分）已知曲线的方程为，其图象经过点，则曲线在点处的切线方程是____________．

16．“直线l1：与直线l2：平行”是“a＝2”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数.

（1）若在处导数相等，证明：；

（2）若对于任意，直线与曲线都有唯一公共点，求实数的取值范围.

18．（12分）已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数在上的值域；

（Ⅱ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.

19．（12分）已知函数，.

（1）当时，求函数的值域；

（2），，求实数的取值范围.

20．（12分）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线和直线的极坐标方程分别是（）和（），其中（）.

（1）写出曲线的直角坐标方程；

（2）设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点，，求的面积最小值.

21．（12分）设的内角的对边分别为，已知.

（1）求；

（2）若为锐角三角形，求的取值范围.

22．（10分）已知是等腰直角三角形,．分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥．

(Ⅰ)求证：平面平面．

(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

如图，平面截球所得截面的图形为圆面，计算，由勾股定理解得，此外接球的体积为，三棱锥体积为，得到答案.

【详解】

如图，平面截球所得截面的图形为圆面.

正三棱锥中，过作底面的垂线，垂足为，与平面交点记为，连接、.

依题意，所以，设球的半径为，

在中，，，，

由勾股定理：，解得，此外接球的体积为，

由于平面平面，所以平面，

球心到平面的距离为，

则，

所以三棱锥体积为，

所以此外接球的体积与三棱锥体积比值为.

故选：D.

【点睛】

本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

2、D

【解析】

连接，可得，在中，由余弦定理得，结合双曲线的定义，即得解.

【详解】

连接，

则，，

所以，

在中，，，

故

在中，由余弦定理

可得.

根据双曲线的定义，得，

所以双曲线的离心率

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率