新课程2025高考数学一轮复习第七章立体几何第7讲立体几何中的向量方法学案含解析.doc

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第7讲立体几何中的向量方法

[考纲解读]1.理解直线的方向向量及平面的法向量，并能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．(重点)

2.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简洁定理，并能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．(难点)

[考向推测]从近三年高考状况来看，本讲为高考必考内容．推测2025年高考将会以空间向量为工具证明平行与垂直以及进行空间角的计算．试题以解答题的形式呈现，难度为中等偏上.

1．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?eq\o(□,\s\up3(01))v1∥v2?v1＝λv2.

(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量为v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝eq\o(□,\s\up3(02))xv1＋yv2.

(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?eq\o(□,\s\up3(03))v⊥u?eq\o(□,\s\up3(04))v·u＝0.

(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?eq\o(□,\s\up3(05))u1∥u2?u1＝λu2.

2．用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?eq\o(□,\s\up3(01))v1⊥v2?eq\o(□,\s\up3(02))v1·v2＝0.

(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?eq\o(□,\s\up3(03))v∥u?eq\o(□,\s\up3(04))v＝λu.

(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?eq\o(□,\s\up3(05))u1⊥u2?eq\o(□,\s\up3(06))u1·u2＝0.

3．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

l1与l2所成的角θ

a与b的夹角β

范围

eq\o(□,\s\up3(01))(0°，90°]

[0°，180°]

求法

cosθ＝eq\o(□,\s\up3(02))eq\f(|a·b|,|a||b|)

cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)

4．直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝eq\o(□,\s\up3(01))eq\f(|e·n|,|e||n|)，φ的取值范围是[0°，90°]．

5．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝eq\o(□,\s\up3(01))〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝eq\o(□,\s\up3(02))|cos〈n1，n2〉|＝eq\o(□,\s\up3(03))eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).

1．概念辨析

(1)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．()

(2)两异面直线夹角的范围是(0°，90°]，直线与平面所成角的范围是[0°，90°]，二面角的范围是[0°，180°]．()

(3)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()

(4)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是180°－θ.()

答案(1)×(2)√(3)×(4)×

2．小题热身

(1)若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()

A．l∥αB．l⊥α

C．l?αD．l与α相交但不垂直

答案B

解析由于a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，

所以n＝－2a，所以a∥n，所以l⊥α

(2)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是()

A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3)))

C．±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2