专升本微分方程重要知识点考点详解!市公开课一等奖省赛课获奖课件.pptx

第四讲微分方程

一、主要内容及要求

1.了解微分方程、方程阶、解、通解、初始条件、特解等概念.

2.熟练掌握可分离变量微分方程及一阶线性微分方程解法，

会解简单齐次方程.

3.知道特殊高阶微分方程y(n)f(x)、yf(x,y)及yf(y,y)

降阶法.

4.知道二阶线性微分方程解结构.

5.熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程解法.

6.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x)中

ax

f(x)Pn(x)、f(x)Ae、f(x)Bsinx（或f(x)Bcosx）

待定特解形式.

7.会用微分方程知识解一些简单实际问题.

第1页

二、微分方程常见题型及例子

1.微分方程基本概念(客观题)

定义：凡含有未知函数导数（或微分）方程叫微

分方程（方程）.

比如yxy,y2y3yex,

(t2x)dtxdx0等,都是微分方程

微分方程实质:联络自变量,未知函数以及未知函

数导数(或微分)之间关系式.

注意：

微分方程中必需含有未知函数导数（或微分）

第2页

微分方程分类：常微分方程;偏微分方程.

微分方程中未知函数只含一个自变量,这么微分

方程称为常微分方程。

不然，称为偏微分方程。

微分方程中几个概念：

（1）微分方程阶：微分方程中出现未知函

数最高阶导数阶数称为微分方程阶.

比如yxy,是一?阶微分方程.

x

y2y3ye,是二?阶微分方程.

(2)线性微分方程：未知函数y及其导数都是一次

的微分方程,称为线性微分方程。

第3页

（3）微分方程解：假如将一个函数代入微分方

程能使方程成为恒等式,这个函数就称这个微分

方程解.

dy

例如yx21和yx2C都是2x的解.

dx

(1)含任意常数C;

微分方程解有两种形式

(2)不含任意常数C.

解分类：

①通解:微分方程解中含有任意常数,且独立

任意常数个数与微分方程阶数相同.

2dy

如：yxC是2x的通解.

dx

第4页

②特解:不含任意常数C解.

dy

如yx21是2x的特解.

dx

思索：

设C1,C2分别为任意常数

xx是否的通解

yC1e3C2ey3y2y0?

x2x是否的通解

yC1C2eey3y2y0?

（4）初始条件:用来确定通解中任意常数条件.

第5页

例验证函数x2x为任意常数

1yC1eC2e(C1,C2)

为二阶微分方程y3y2y0的通解,

并求方程满足初始条件y(0)0,y(0)1

的特解.

解x2xx2x

yC1e2C