2023-2024学年湖南长沙市高三适应性调研考试数学试题含解析.docVIP

2023-2024学年湖南长沙市高三适应性调研考试数学试题

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列是公比为的正项等比数列，若、满足，则的最小值为（）

A． B． C． D．

2．已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

3．的展开式中有理项有（）

A．项 B．项 C．项 D．项

4．已知向量，，且，则（）

A． B． C．1 D．2

5．已知集合，集合，那么等于（）

A． B． C． D．

6．的展开式中的系数是-10，则实数()

A．2 B．1 C．-1 D．-2

7．过椭圆的左焦点的直线过的上顶点，且与椭圆相交于另一点，点在轴上的射影为，若，是坐标原点，则椭圆的离心率为（）

A． B． C． D．

8．设为抛物线的焦点，，，为抛物线上三点，若，则（）.

A．9 B．6 C． D．

9．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）

A． B． C． D．

10．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：

①直线与直线的斜率乘积为；

②轴；

③以为直径的圆与抛物线准线相切.

其中，所有正确判断的序号是（）

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

11．若的展开式中的系数为-45，则实数的值为（）

A． B．2 C． D．

12．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是

A． B．

C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若，则__________.

14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

15．展开式中项系数为160，则的值为______.

16．函数的图象在处的切线方程为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数.

（1）若，解关于的不等式；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

18．（12分）已知函数.

（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；

（2）设数列，其前项和为，证明：.

19．（12分）已知数列的前项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，为数列的前项和.求证：.

20．（12分）（1）求曲线和曲线围成图形的面积；

（2）化简求值：．

21．（12分）已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.

（Ⅰ）解不等式f(x)1；

（Ⅱ）当x0时，若函数g(x)(a0)的最小值恒大于f(x)，求实数a的取值范围．

22．（10分）设直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若.

（1）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标；

（2）是否存在常数，满足？并说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值．

【详解】

数列是公比为的正项等比数列，、满足，

由等比数列的通项公式得，即，

，可得，且、都是正整数，

求的最小值即求在，且、都是正整数范围下求最小值和的最小值，讨论、取值.

当且时，的最小值为.

故选：B．

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题．

2、B

【解析】

画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得的取值范围.

【详解】

由约束条件作出可行域是由，，三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时，点到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时.所以的取值范围是.

故选