新高考数学二轮复习能力拓展练习04 活用三次函数的图象和性质（7种考向）（解析版）.doc

能力拓展04活用三次函数的图象和性质

【命题方向目录】

命题方向一：三次函数的零点问题

命题方向二：三次函数的最值、极值问题

命题方向三：三次函数的单调性问题

命题方向四：三次函数的切线问题

命题方向五：三次函数的对称问题

命题方向六：三次函数的综合问题

命题方向七：三次函数恒成立问题

【方法技巧与总结】

1、基本性质

设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有：

性质1：=1\*GB3①定义域为．=2\*GB3②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．=3\*GB3③单调性和图像：

图像

性质2：三次方程的实根个数

由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数

其导函数为二次函数:，

判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：

(1)若，则恰有一个实根；

(2)若,且，则恰有一个实根；

(3)若,且，则有两个不相等的实根；

(4)若,且，则有三个不相等的实根.

说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;

(5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;

(6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.

性质3：对称性

（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；；

（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

【典例例题】

命题方向一：三次函数的零点问题

例1．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由函数求导得：，则，

由解得，则有，

，当或时，，当时，，

则在，上单调递增，在上单调递减，

因此，当时，取得极大值，当时，取得极小值，

因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，，

于是得，解得，

综上得：，

实数a的取值范围是.

故选：A

例2．（2023·江西景德镇·高二景德镇一中校考期末）若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】当时，，，此时两个函数的图象无交点；

当时，由得，可得，

令，其中，则直线与曲线有两个交点，

，当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，则，

且当时，，作出直线与曲线如下图所示：

由图可知，当时，即当时，

指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点.

故选：A.

例3．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，且在和处取得极值.

(1)求函数的解析式；

(2)设函数，若有且仅有一个零点，求实数的取值范围.

【解析】（1），

因为在和处取得极值，

所以和是方程＝0的两个根，

则，解得，经检验符合已知条件，

所以；

（2）由题意知，

当或时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，

又取足够大的正数时，，取足够小的负数时，，

因此，为使曲线与轴有一个交点，结合的单调性，

得：或，

∴或，

即当或时，使得曲线与轴有一个交点.

变式1．（2023·甘肃天水·统考模拟预测）设三次函数的导函数，且，则函数的零点个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】由且知，当时，，当或时，，则函数在上单调增，

在上单调减，在上单调增，又，则，

则，所以，

又，所以函数有三个零点.

故选：D．

命题方向二：三次函数的最值、极值问题

例4．（2023·云南·高三统考期末）已知函数，.

（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；

（2）设.若，在上的最小值为，求的零点.

【解析】（1）∵在上存在单调递增区间，∴在上有解，

又是对称轴为的二次函数，所以在上的最大值大于0，

而的最大值为，∴，

解得：.

（2），

∴，

由得：，，

则在，上单调递减，在上单调递增，

又∵当时，，，

∴在上的最大值点为，最小值为或，

而，

当，即时，，得，

此时，的零点为；

当，即时，，得（舍）.

综上的零点为.

例5．（2023·高三课时练习）已知函数，.

（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；

（2）设.若，在上的最小值为，求在上取得最大值时，对应的值.

【解析】（1）∵在上存在单调递增区间，

∴在上有解，

即在上成立，

而的最大值为，

∴，

解得：.

（2），

∴，

由得：，，

则在，上单调递减，在上单调递