新高考数学二轮复习能力拓展练习08 利用导数多维度证明不等式（13种考向）（解析版）.doc

能力拓展08利用导数多维度证明不等式

【命题方向目录】

命题方向一：直接法

命题方向二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）

命题方向三：分析法

命题方向四：凹凸反转、拆分函数

命题方向五：对数单身狗，指数找朋友

命题方向六：放缩法

命题方向七：虚设零点

命题方向八：同构法

命题方向九：泰勒展式和拉格朗日中值定理

命题方向十：分段分析法、主元法、估算法

命题方向十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值

命题方向十二：函数与数列不等式问题

命题方向十三：三角函数

【方法技巧与总结】

利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

（4）对数单身狗，指数找基友

（5）凹凸反转，转化为最值问题

（6）同构变形

【典例例题】

命题方向一：直接法

例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，

(1)证明：；

(2)证明：．

【解析】（1）证明：令，

则，当时，即函数在递减，

则，所以；

（2）由（1）知用代换得，再以代换得，

即，即，则

令，因为，所以，即

则

例2．（2023·全国·高三专题练习）（1）证明：；

（2）证明：；

（3）证明：.

【解析】证明：（1）令，则有.

令得，，令得，所以在单调递减，上单调递增.

所以，即.

所以.

（2）令，则.

令得，，令得，.所以在单调递增，上单调递减，

所以，即，

所以.

（3）由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①.

由（2）得，所以（当且仅当时取等号）②

因为①式与②式取等号的条件不同，所以.

命题方向二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）

例3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．

(1)证明：；

(2)讨论的单调性，并证明：当时，．

【解析】（1）证明：令，则，

所以在上单调递减，所以，即．

令，则有，

所以，所以，即．

（2）由可得，

令，则，

令，则，

所以在上单调递增，．

令，则有，

所以在上单调递增，所以在上单调递增，

所以对于，有，

所以，所以，

即，

整理得：．

例4．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同，

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求证：当时，．

【解析】（Ⅰ）解：，，

依题意（1）（1），；

（Ⅱ）证明：由，得，

令，则，

时，，递减；

时，，递增．

时，（1），即，

综上所述，时，．

命题方向三：分析法

例5．已知函数，已知是函数的极值点．

（1）求；

（2）设函数．证明：．

【解析】（1）解：由题意，的定义域为，

令，则，，

则，

因为是函数的极值点，则有，即，所以，

当时，，且，

因为，

则在上单调递减，

所以当时，，

当时，，

所以时，是函数的一个极大值点．

综上所述，；

（2）证明：由（1）可知，，

要证，即需证明，

因为当时，，

当时，，

所以需证明，即，

令，

则，

所以，当时，，

当时，，

所以为的极小值点，

所以，即，

故，

所以．

例6．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数

(1)求在处的切线;

(2)若，证明当时，.

【解析】（1）因为，所以，切线斜率为

因为，所以切点为

切线方程为即

（2）法一：令，所以，

所以在单调递增，，

所以，所以，

所以要证只需证明

变形得

因为

所以只需证明，即

两边同取对数得：

令，

则

显然在递增，

所以存在当时递减，

当时递增;

因为

所以在上恒成立，所以原命题成立

法二：设则，

要证：

需证：

即证：

因为，需证，即证：

①时必然成立

②时，因为所以只需证明，

令，，

令，

∴在上为增函数

因为

，所以

所以存在，使得

∴在上为减函数，在上为增函数

∴

综上可知，不等式成立

命题方向四：凹凸反转、拆分函数

例7．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，当，时，证明：任意的，都有恒成立.

【解析】由题设有，设，，

要证即证.

下面证明：当时，.

此时，，

当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

当时，，

故在上为增函数，在上为减函数，

故在上，有，，

故当时，.

当，，，

当时，要证即证即证，

设，其中，故，

当时，；当时，，

故在上为增函数，在上为减函数，

故在上，，

故，所以当时，成立.

综上，任意的，都有恒成立.

例8．（2023·河南开封·校考模拟预测）设函数，．

(1)若函数在上存在最大值，求实数的取值范围；

(2)当时，求证：．

【解析】（1）（1）由得：（），

①当时，，所以在上单调递增，在不存在最大值，

②当时，令，解得：，

当时，，在上单调递增，

当时，在上单调递减，

所以在时