2025北京海淀高三（上）期末数学试卷含答案.docx

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2025北京海淀高三（上）期末

数学

本试卷共9页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，则

A. B.

C. D.

2.在的展开式中，的系数为

A. B. C. D.

3.若复数满足，则

A. B. C. D.

4.抛物线的焦点为，点在上，则

A. B. C. D.

5.已知直线与圆交于两点，则

A. B. C. D.

6.已知等差数列的前项和为，，则

A. B. C. D.

7.已知椭圆的焦点在轴上，点，则

A.在外 B.的长轴长为

C.在内 D.的焦距为

8.设函数，则“”是“没有极值点”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

9.如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是

A.平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形

B.存在点，使得直线与平面垂直

C.平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等

D.点到平面的距离不超过

10.2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加.记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）.已知，，则最大时，的值为

（参考数据：，）

A. B. C. D.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.双曲线的一条渐近线方程可以为_________.

12.已知向量，，则_________，的最小值为_________.

13.已知为等腰三角形，且，则_________.

14.已知函数存在最小值，则的取值范围是_________.

15.已知曲线.给出下列四个结论：

①曲线关于直线对称；

②曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；

③曲线上存在一点，使得到点的距离小于；

④曲线所围成区域的面积大于.

其中，所有正确结论的序号为_________.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.（本小题13分）

已知函数.

（Ⅰ）求曲线的两条对称轴之间距离的最小值；

（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的值.

17.（本小题14分）

如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，是的中点，在棱上，且平面.

（Ⅰ）求证：是的中点；

（Ⅱ）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.

条件①：平面平面；

条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，

按第一个解答计分.

18.（本小题13分）

某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试.选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下：

原始成绩

8.75

8.25

8.25

6.75

6.75

6.5

6

5.5

5.25

4.25

3.75

3.25

排名

1

2

2

4

4

6

7

8

9

10

11

12

（Ⅰ）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率；

（Ⅱ）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下：

当时，赋分成绩为100分；

当，赋分成绩为85分；

当时，赋分成绩为70分；

当时，赋分成绩为60分.

①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望；

②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下：

原始成绩

9.75

8

8

7.5

7.5

6

5.75

5.75

排名

1

2

2

4

4

6

7

7

原始成绩

5

4.75

4.5

4.5

4.25

4

3.75

3.5

排名

9

10

11

11

13

14

15

16

对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分.现从课程甲、课程乙的学生中分别随

机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系.

19.（本小题15分）

已知椭圆的左顶点为，离心率.

（Ⅰ）求的标准方程；

（Ⅱ）设点为上异于顶点的一点，点关于轴的对称点为，过作的

平行线，与的另一个交点为.当与不重合时，求证：.

20.（本小题15分）

已知函数.

（Ⅰ）当时，求的定义域；

（Ⅱ）若在区间上单调递减，求的取值范围；

（Ⅲ）当时，证明：若，，则.

（参考数据：，，）

21.（本小题15分）

已知为各项均为整数的无穷递增数列，且.对于