第8讲 离散型随机变量的期望方差及其性质3种题型(原卷版）.docx

第8讲离散型随机变量的期望方差及其性质3种题型

【考点分析】

考点一：离散型随机变量的期望

①期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

…

…

P

…

…

则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.

数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

②随机变量的数学期望：

ξ

0

1

P

q

p

③单点分布：其分布列为：.

④两点分布：，其分布列为：（p+q=1）

⑤二项分布：其分布列为～.（P为发生的概率）

⑥几何分布：其分布列为～.（P为发生的概率）

考点二：离散型随机变量的方差、标准差

①当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差.显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.

②方差的性质.

⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）

③期望与方差的关系.

⑴如果和都存在，则

⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则

⑶期望与方差的转化：⑷（因为为一常数）.

【题型目录】

题型一：离散型随机变量的期望

题型二：离散型随机变量的方差

题型三：离散型随机变量的期望方差的性质

【典型例题】

题型一：离散型随机变量的期望

【例1】在采用五局三胜制（先取得三局胜利的一方，获得最终胜利）的篮球总决赛中，当甲队先胜2场时，因疫情暴发不得不中止比赛.已知甲?乙两队水平相当，每场甲?乙胜的概率都为，总决赛的奖金为80万元，总决赛的胜者获得全部奖金.根据我们所学的概率知识，甲队应分得的奖金为（????）万元.

A．80 B．70 C．50 D．40

【例2】一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球，小明从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得分的数学期望等于（????）

A．3.8分 B．4分 C．4.2分 D．4.4分

【例3】从一批含有6件正品和4件次品的10件产品中随机抽取2件产品进行检测，记随机变量X为抽检结果中含有的次品件数，则随机变量X的期望________．

【例4】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：

投资成功

投资失败

192次

8次

则该公司一年后估计可获收益的期望是____________（元）．

【例5】电机（或变压器）绕组采用的绝缘材料的耐热等级也叫绝缘等级，电机与变压器中常用的绝缘材料耐热等级分为如下7个级别：

耐热等级

Y

A

E

B

F

H

C

绝缘耐温（℃）

某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响，分别从两种工艺生产的产品中各随机抽取50件，测量各件产品的绝缘耐温（单位：℃），其频率分布直方图如下：

(1)若10月份该企业采用甲工艺生产的产品为65万件，估计其中耐热等级达到C级的产品数；

(2)若从甲、乙两种工艺生产的产品中分别随机选择1件，用频率估计概率，求2件产品中耐热等级达到C级的产品数的分布列和数学期望．

【例6】现有甲、乙、丙、丁等6人去参加新冠疫苗的接种排队，有A、B、C、D4个不同的窗口供排队等候接种，每个窗口至少有一位同学等候．

(1)求甲、乙两人在不同窗口等候的概率；

(2)设随机变量X表示在窗口A排队等候的人数，求随机变量X的期望．

【题型专练】

1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望为（????）

A． B． C． D．

2．某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元.在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为：

X

6

7

8

P

0.4

0.5

0.1

若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（????）

A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元

3．袋中装有大小与质地相同的5个红球、m个白球，现从中任取2个球．若取出的两球都是红球的概率为，记取出的红球个数为X，则______．

4．农历五月初五是我国的传统节日——端午节，为纪念伟大的爱国诗人屈原，民间有吃粽子的习惯，粽子也就成为了我们生活中的一种美食.设一盘中装有6个粽子，其中豆粽、肉粽、白粽各2个，这三种粽子的外观完全相同．小明从中任取2个吃，吃完这2个，若是吃到了肉粽就不再吃了；若是还没吃到肉粽，就再从剩下的4个中