第8讲 正弦定理和余弦定理5种常见题型（原卷版）.docx

第8讲正弦定理和余弦定理5种基础题型

【考点分析】

考点一：三角形中常用知识

①任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

②大边对大角，小边对小角，，所以在中的充要条件

③在锐角中，一定有，即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角中，一定有

考点二：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．

考点三：由正弦定理推出的几个结论

①a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．

②

③由等比性质和圆的性质可知，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．

④AB?ab?sinAsinB．

考点四：由三角形性质和诱导公式导出的几个结论

①，

所以，同理，，

，同理，，

，同理，，

所以，同理，，

考点五：三角形面积公式

S△ABC＝eq\f(1,2)ah(h表示边a上的高)；S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；

由正弦定理可得

海伦公式：，其中

三角形面积和内切圆半径的关系：（其中为三角形内切圆的半径）

【题型目录】

题型一：正弦定理运用

题型二：余弦定理运用

题型三：三角形面积公式运用

题型四：正弦定理解答题

题型五：余弦定理解答题

【典型例题】

题型一：正弦定理运用

【例1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（????）．

A． B． C． D．

【例2】在△ABC中，已知，则其外接圆的直径为______.

【例3】在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则．

【例4】在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若：：：2：3，则a：b：（????）

A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2

【例5】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则B=___________.

【例6】的内角、、的对边分别为、、．已知，，，则=

A．B．C．D．

【例7】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．

【例8】在中，角A，B，C的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是

A． B．

C． D．

【例9】的内角的对边分别为，若，，，则．

【例10】在锐角三角形中，若，则的最小值是.

【题型专练】

1.设的内角，，的对边分别为，，．若，，，则．

2．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，R是△ABC的外接圆半径，且，则B＝（）

A． B． C． D．

3.在，内角所对的边长分别为．若，且，则=

A．B．C．D．

4.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则△ABC的形状为

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

5.的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

，则

A． B． C． D．

6.的内角,，的对边分别为，，，若，则

7.的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则=_______．

8.在中，角所对的边分别为，若，，则角的大小为．

题型二：余弦定理运用

【例1】在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（）

A． B．2 C．4 D．8

【例2】在中，，，，则

A．B．C．D．

【例3】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，，，则=

A．B．C．2D．3

【例4】在中，分别是角的对边，，则角的正弦值为（????）

A． B． C． D．1

【例5】已知的三边之比为，则最大角为（????）

A． B． C． D．

【例6】在中，内角，，所对的边分别为．已知．则（????）

A． B． C． D．

【例7】黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．其中顶角为36°的等腰三角形的底与腰之比为，这种黄金三角形被认为是最美的三角形．根据这些信息，则（????）

A． B． C． D．

【例8】设的内角所对边的长分别为．若，则则角_____．

【例9】在锐角中，角，，所