第11讲 对数与对数函数（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docx

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第11讲对数与对数函数（精讲）

题型目录一览

①对数式的化简与求值

②对数函数的图像与性质

③解对数方程与不等式

④对数函数的综合应用

★【文末附录-对数运算与对数函数思维导图】

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1.对数式的运算

(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．

(2)常见对数：

①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；

②常用对数：以为底，记为；

③自然对数：以为底，记为；

(3)对数的性质和运算法则：

①；；其中且；②(其中且，)；

③对数换底公式：；④；

⑤；⑥，；

⑦和；⑧；

2.对数函数的定义及图像

(1)对数函数的定义：函数且叫做对数函数．

对数函数的图象

图象

性质

定义域：

值域：

过定点，即时，

在上增函数

在上是减函数

当时，，当时，

当时，，当时，

【常用结论】

在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

刷真题

刷真题明导向

一、单选题

1．（2020·山东·统考高考真题）函数的定义域是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.

【详解】由题知：，解得且.

所以函数定义域为.

故选：B

2．（2022·天津·统考高考真题）化简的值为（?????????）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】B

【分析】根据对数的性质可求代数式的值.

【详解】原式

，

故选：B

3．（2021·天津·统考高考真题）若，则（????）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.

【详解】，，

.

故选：C.

4．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（????）（）

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

【答案】C

【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.

【详解】由，当时，，

则.故选：C.

5．（2020·全国·统考高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（????）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

【答案】C

【分析】将代入函数结合求得即可得解.

【详解】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

6．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.

【详解】由得或

所以的定义域为

因为在上单调递增

所以在上单调递增

所以，故选：D

7．（2021·天津·统考高考真题）函数的图像大致为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.

【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，

又，所以函数为偶函数，排除AC；

当时，，所以，排除D.

故选：B.

8．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（????）

A．当，时，二氧化碳处于液态

B．当，时，二氧化碳处于气态

C．当，时，二氧化碳处于超临界状态

D．当，时，二氧化碳处于超临界状态

【答案】D

【分析】根据与的关系图可得正确的选项.

【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.

当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.

当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.

当，时，因,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.

故选：D

9．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（????）

A． B． C． D．

【答