第13讲 导数的最值四种题型总结 （解析版）.docx

第13讲导数的最值四种题型总结

【考点分析】

考点一：函数的最值

一个连续函数在闭区间上一定有最值，最值要么在极值点处取得，要么在断点处取得。

求函数最值的步骤为：

①求在内的极值（极大值或极小值）；

②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

【题型目录】

题型一：利用导数求函数的最值（不含参）

题型二：根据最值求参数

题型三：根据最值求参数范围

题型四：含参数最值讨论问题

【典型例题】

题型一：利用导数求函数的最值（不含参）

【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为，充分性成立；利用可验证出必要性不成立，由此得到结论.

【详解】为开区间????最小值点一定是极小值点????极小值点处的导数值为

充分性成立

当，时，，结合幂函数图象知无最小值，必要性不成立

“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的充分不必要条件

故选：

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为，但导数值为的点未必是极值点.

【例2】（2022·全国·高二课时练习）函数在上的最大值、最小值分别是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求得导函数，令即可求得极值点．再代入端点值即可求得最大值与最小值．

【详解】函数

所以，令解方程可得

极大值

由表格可知，函数在上的最大值为，最小值为

所以选D

【点睛】本题考查利用导数求函数在某区间内的最大值与最小值，注意函数端点处对函数最值的影响，属于基础题．

【例3】(2022江苏单元测试)函数在[0，2]上的最大值是()

A． B． C．0 D．

【答案】A

【解析】由，得，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以，故选：A

【例4】（2022·全国·高二课时练习）设，在上，以下结论正确的是（????）

A．的极值点一定是最值点 B．的最值点一定是极值点

C．在上可能没有极值点 D．在上可能没有最值点

【答案】C

【分析】结合极值点、最值点的概念对所给选项进行分析即可.

【详解】由已知，，由，得或时；由，

得时，所以在上单调递增，在，上单调递减.

对于选项A，取，易知的极值点为，

且，而，所以不是最小值点，故A错误；

对于选项B，取，则在上单调递减，故是最值点，但

不是极值点，故B错误，C正确；

对于选项D，由连续函数在闭区间上一定存在最值，知选项D错误.

故选：C

【点睛】本题考查函数的极值点、最值点概念的辨析，考查学生对极值点、最值点的理解，是一道容易题.

【例5】已知函数，，则函数的最大值为（???????）

A．0 B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进行求解即可.

【详解】

∵，∴当时，单调递增，

当时，单调递减，

∴.

故选：C.

【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知函数在x=2处取得极小值，则在上的最大值为______．

【答案】

【分析】根据函数在x=2处取得极小值可得，求得a的值，继而判断函数在上的极值情况，计算端点处函数值并进行比较，可得答案.

【详解】因为，所以，

由题意可得，解得，

则，，

令，可得x=1或x=2，当x在上变化时，与的变化情况如下表：

x

1

2

0

0

递增

极大值

递减

极小值

递增

所以函数的极大值为，极小值为，

又因为，

且，所以，

所以，

故答案为：

【例7】（2022·山东·滕州市第一中学新校高三阶段练习）已知函数

(1)当时，求在上的值域；

【答案】(1)

【分析】（1）由，可知单调递增，从而可求得值域；

（1）

由题意知，

，

时，，，

时，恒成立，所以单调递增，

∴，即

所以的值域为.

【例8】（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）已知函数．

(1)求函数在区间上的最小值；

【答案】(1)0

【分析】（1）先对函数求导得，令，求导后判断其单调性，结合零点存在性定理可求出原函数的单调性，从而可求出其最小值，

（1）

因为，所以．

记．

则，所以为上的单调减函数．

又，，

所以存在唯一的实数，使得．

所以当时，；当时，，

所以函数在单调递增，在单调递减，

因为，，

所以，

【题型专练】

1．（2022·全国·高二课时练习）（多选）下列结论中不正确的是（????）.

A．若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数在区间上的极大值

B．若函数在区间上有最小值，则这个最小值一定是函