7.1.2 一元线性回归方程 课件（共18张PPT）.pptxVIP

7.1.2一元线性回归方程

1.会求一元线性回归方程并能根据线性回归方程进行预测.

对于给定的两个变量X和Y（如身高和体重），假设有n对观测值(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，...，(xn，yn)，拟合的直线是Y=a+bX，样本点与这条直线的距离为希望a，b的取值能使上式达到最小.这个方法称为最小二乘法.

先研究简单的情形，考虑3对数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，下面用向量的方法解决这个问题.即：求a，b的值，使得偏差yi-(a+bxi)(i=1，2，3)的平方和最小，[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+[y3-(a+bx3)]2达到最小.用向量的语言描述问题.“求a，b的值，使得偏差yi-(a+bxi)(i=1，2，3)的平方和最小”等价于“求a，b的值，使得向量(y1-(a+bx1)，y2-(a+bx2)，y3-(a+bx3))的长度最小”

(y1-(a+bx1)，y2-(a+bx2)，y3-(a+bx3))=(y1，y2，y3)-(a+bx1，a+bx2，a+bx3)=(y1，y2，y3)-[(a，a，a)+(bx1，bx2，bx3)]=(y1，y2，y3)-[a(1，1，1)+b(x1，x2，x3)]其中，均为已知向量.问题转化为：求a，b的值，使的长度最小.

用向量的方法思考问题.如图，和成确定一个平面，记作α.由平面向量基本定理可知，对任意的a，b，都在平面α内；反之，平面α内的任意向量都可以用来表示.当a，b变化时，的端点M是平面α内的一个动点.如图，，其中，点Y是平面α外的一个定点.

要使最小，即最小，由点到平面距离的定义，当⊥α时，线段MY的长度最短，即与平面α垂直时，的长度最小.根据线面垂直的判定定理，要使与平面α垂直，只需其与平面α内的两个不共线的向量和均垂直.用向量的方法解决问题.求最小时的a，b的值，就是求与和的数量积分别为0时的a，b的值，即

用向量的坐标表示，即记化简，得则如果把它的解记作得到：

①②①，②两式推广到n对数据(x1，y1)，(x2，y2)，...，(xn，yn)仍然成立，即：使达到最小的a，b取值为其中，

概念讲解直线方程称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线(如图)，是这个线性回归方程的系数.

根据表中身高、体重的数据，利用上述方法得到身高和体重满足的线性回归方程为Y=0.648X-55.139.编号123456789身高/cm165157155175168157178160163体重/kg524445555447625053由此可知，一个身高166cm的15岁男生，他的体重大致为52.429kg.同理，一个身高175cm的15岁男生，他的体重大致为58.261kg.注意：身高和体重之间并没有函数关系，得到的线性回归方程只是对其变化趋势的一种近似描述.对一个给定身高的人，人们可以用这个方程来估计这个人的体重.

例1:如果某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示.(1)求出y关于x的回归直线方程；数学成绩x76827287937889668176物理成绩y808775861007993688577?

因此回归直线方程为例1:如果某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示.(1)求出y关于x的回归直线方程；数学成绩x768272