河南省南阳市2025届高三上学期期末数学试题（解析版）.docx

河南省南阳市2025届高三上学期期末数学试题

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.若，则（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】因为，则，可得.

所以.

故选：B（改编自《数学》（必修第一册）第7页例4）

2.已知集合，，则集合的真子集个数为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】因为，则，

所以，集合的真子集个数为.

故选：A.

3.直线交圆于、两点，则（）

A. B. C.1 D.2

【答案】D

【解析】联立解得：，，

所以.

故选：D.

4.的展开式中，的系数为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】因为.

的二项展开式的通项公式为.

而，所以的系数为为.

故选：C.

5.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】.

故选：B.

6.已知点，Q为曲线上任意一点，则的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】为曲线上任意一点，可设，

所以

当时，最大.

故选：C.

7.已知函数，则（）

A.当时，在区间上单调递增

B.当时，的图象关于点对称

C.若将的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值为

D.若在区间上恰有两个极值点，三个零点，则实数的最大值为

【答案】D

【解析】对于AB，当时，，当时，，函数在区间上单调递减，，的图象关于不对称，AB错误；

对于C，的图象向左平移个单位长度，得，

由图象与原图象重合，得，解得，的最小值为，C错误；

对于D，当时，，由在区间上恰有两个极值点，三个零点，得，解得，因此实数的最大值为，D正确.

故选：D.

8.如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（）

A.2 B.

C. D.4

【答案】B

【解析】设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为，

则，由，，

所以，所以椭圆方程可化为，

由，两式相减得，

，则，

根据对称性可知关于原点对称，关于轴对称.

则，

直线的方程为.

将代入得，

由，解得或，

而，，所以，

所以，所以双曲线方程可化为，

由消去并化简得，

设，解得，所以，

所以.

故选：B.

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.下列命题中正确的是（）

A.一组数据，，，，，，，，的分位数为

B.若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为

C.在对高三某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生人，其平均数为，方差为；抽取女生人，其平均数为，方差为，则这名学生物理成绩的方差为

D.若随机变量，且，则

【答案】CD

【解析】对于A：该组数据已从小到大排序，又，

故分位数为第位，即，故A错误；

对于B：因为样本点都在直线上，说明是负相关且相关系数为，故B错误；

对于C：这名同学物理成绩的平均数为：，

所以这名同学物理成绩的方差为：，故C正确；

对于D：因为，且，

所，

所以，故D正确.

故选：CD.

10.小明在“数学建模活动”课中，取两个三角形模具，把它们的斜边靠在一起，如图所示，三角形模具绕着可以转动.其中斜边，，，则（）

A.当A，B，C，D四点共面时，

B.当A，B，C，D四点共面时，设与交于点，则

C.当平面平面时，

D.当A、B、C、D不共面时，四点A、B、C、D在同一球面上，且此球的体积为

【答案】BCD

【解析】由，，，可得，，.

对于A：，

由余弦定理得，错误；

对于B：由，得

即，

解得，正确；

对于C：过作于，则为的中点，连接.

当面面时，面面，面，则面.

而面，则，所以为直角三角形，，正确；

对于D：取的中点，则，

所以四点A、B、C、D在同一球面上，且球的半径为5，

所以，正确.

故选：BCD.

11.已知函数，，下列说法正确的是（）

A.函数存在唯一极值点，且

B.令，则函数无零点

C.若恒成立，则

D.若，，则

【答案】ABD

【解析】对于A：，显然在上单调递增，

又，，

所以，使得，故A正确；

对于B：由A得，，使得，即，，

在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以恒大于0；

所以要研究函数的零点，只需研究函数的零点.

由，令，，

，当时，