《机械设计基础》课件_第4章.pptxVIP

第4章空间力系

4.1力的投影和力对轴之矩

4.2空间力系的平衡方程及应用

4.3重心

4.1力的投影和力对轴之矩

4.1.1力在空间直角坐标轴上的投影

1.直接投影法

力在空间直角坐标轴上的投影定义与在平面力系中的定义相同。

若已知力F与x、y、z坐标轴之间的夹角分别为α、β、y,

如图4-1所示，就可以直接依照定义求出力在各坐标轴上的投影，即

这种求解方法称为直接投影法。

图4-1直接投影法

2.间接投影法(二次投影法)

当力F与坐标轴Ox、Oy间的夹角无法确定时，可把力F先投影到平面Oxy上，得到力F在平面Oxy的投影F,然后再把F投影到x、y轴上，分别得到在x、y轴上的投影F、F。

而力F在z轴上的投影F₂可按一次投影法求得。

如图4-2所示，已知力F与z轴的夹角为y,力F和z轴确定

的平面与x轴的夹角为φ,则用二次投影法得到的F、F、、F₂

可表示如下：

于是

即可得出二次投影法的表达式：

(4-2)

图4-2间接投影法

如果已知力F在三个坐标轴上的投影Fx、Fy、F₂,也可

以求出力F的大小和方向。其形式如下

其中，a、β、y分别为力F与x、y、z轴之间所夹的锐角。

(4-3)

例4-1已知圆柱斜齿轮所受到的啮合力Fn=1410N,

齿轮压力角α=20°,螺旋角β=25°,如图4-3(a)所示。试

计算斜齿轮所受到的圆周力F、轴向力Fa和径向力F,的大小。

解取坐标系如图4-3(a)所示，使得x、y、z轴分别沿齿

轮的轴向、圆周的切线方向和径向。先把啮合力Fn向z轴和Oxy坐标平面投影，得

F₂=-F=-Fnsina=-1410×sin20°=-482N

Fn在Oxy平面上的分力F,其大小为

Fx=Fncosa=1410×cos20°=1325N

然后再把F,投影到x、y轴上，得

F=Fa=-Fsinβ=-Fncos20°sin25°=-560N

F=F=-Fxycosβ=-Fncos20°cos25°=-1201N

图4-3圆柱斜齿轮受力分析

4.1.2力对轴之矩

在工程中，常常遇到刚体绕定轴转动的情况，为了度量力对绕定轴转动刚体的作用效果，必须掌握力对轴之矩的

概念。

如图4-4所示，力F作用在门上，使门绕固定轴z转动。

现将力F分解为平行于z轴的分力F₂和与z轴垂直的平面内的分力F。由经验可知，分力F₂不能使门绕z轴转动，只有分力F才能使门绕z轴转动。因此，力F对z轴之矩就是分力Fxy对O点之矩，即

M₂(F)=M₂(F)=M₀(Fy)=±Fyd(4-4)

图4-4力对轴之矩

俯视图

4.1.3合力矩定理

空间力系与平面力系类似，也有合力矩定理，即空间力系的合力FR对某轴之矩等于力系中各分力对同一轴之矩的代数和，可表示为

(4-5)

例4-2如图4-5所示，手柄ABCD在平面Axy内，力F在

垂直于y轴的平面上，与铅垂线的夹角为a,其作用点在D处。已知CD=b,杆BC平行于x轴，杆CD平行于y轴，杆AB和BC的长度为1,求力F分别对x、y和z轴的矩。

图4-5力对轴之矩示例

解(1)将力F沿坐标轴分解为F和F₂两个分力：

F=Fsina,F=Fcosa

(2)根据合力矩定理求得力F对各轴的矩：

M(F)=M(Fx)+Mx(F₂)=0-F₂(AB+CD)

=—F(l+b)cosa

M,(F)=M,(F)+M,(F₂)=0-F₂BC

=-Flcosa

M₂(F)=M₂(Fx)+M₂(F₂)=—F(AB+CD)+0

=-F(l+b)sina

4.2空间力系的平衡方程及应用

4.2.1空间任意力系的平衡方程

与平面任意力系一样，利用力的平移定理，可将空间力系简化为一个主矢FR和一个主矩Mo。空间任意力系的平衡条件为主矢和主矩均为零，即

由此，可得到空间任意力系的平衡方程为

∑F、=0,∑F,=0,∑F₂=0(4-6)

其中，第一行三个方程称为投影方程，第二行三个方程称为力矩方程。

1.空间汇交力系的平衡方程

空间力系中各力的作用线汇交于一点，称为空间汇交力系。如选取汇交点为坐标原点，