2025高考数学专项讲义第01讲平面向量的概念、线性运算及其坐标运算(学生版+解析).docxVIP

第01讲平面向量的概念、线性运算及其坐标运算

（5类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2024年新I卷，第3题,5分

平面向量线性运算的坐标表示

向量垂直的坐标表示

2023年新I卷，第3题,5分

平面向量线性运算的坐标表示

向量垂直的坐标表示

利用向量垂直求参数

2022年新Ⅱ卷，第4题,5分

平面向量线性运算的坐标表示

数量积及向量夹角的坐标表示

2021年新Ⅱ卷，第10题,5分

坐标计算向量的模

数量积的坐标表示

逆用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的余弦公式

2020年新Ⅱ卷，第3题,5分

向量加法的法则

向量减法的法则

无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示

2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义

3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义

4理解向量的线性运算性质及其几何意义

5会向量间的坐标运算

【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习

知识讲解

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

交换律：a＋b＝b＋a；

结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．

2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．

（1）若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.

（2）P为线段AB的中点?eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．

4.向量的坐标运算

两点间的向量坐标公式：

，，终点坐标始点坐标

向量的加减法

，，

向量的数乘运算

，则：

向量的模

，则的模

相反向量

已知，则；已知

单位向量

向量的平行关系

，，

考点一、平面向量基本概念的综合考查

1．关于平面向量，下列说法正确的是（????）

A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小

C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的

2．下列结论正确的是：（????）

A．若与都是单位向量，则．

B．若与是平行向量，则．

C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合

D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量

3．（多选）下列结论中，错误的是（????）

A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；

B．若，则，不是共线向量；

C．若，则四边形是平行四边形；

D．与同向，且，则

1．下列说法正确的是（????）

A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行

C．模为1的向量都是相等向量

D．向量的模可以比较大小

2．下列说法正确的是（????）

A．若，，则 B．若，则

C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向

3．下列说法错误的是（）

A．

B．，是单位向量，则

C．若，则

D．两个相同的向量的模相等

4．（多选）下列说法错误的是（????）

A．若与都是单位向量，则

B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是