2025年大学数学数理统计精讲.pdfVIP

天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为。——《孟子》

大学数学数理统计精讲

数理统计(MathematicalStatistics)是数学的一个分支，它与概率论

和统计学密切相关，旨在利用数学方法对数据进行分析和推断。在大

学数学课程中，数理统计是一个重要的学科，为学生提供了理解和应

用统计学概念的基础。

一、基本概念和原理

1.随机变量(RandomVariable)

随机变量是数理统计的核心概念之一。它表示一个随机试验的结果，

可以是离散的或连续的。离散随机变量取有限或可数个值，如抛硬币

的结果；连续随机变量则取无限个可能的值，如身高或体重。

2.概率分布(ProbabilityDistribution)

随机变量的概率分布描述了它可能取到的各个值以及相应的概率。

常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布等；连续概率分布则包括

正态分布、指数分布等。

3.期望和方差(ExpectationandVariance)

期望是随机变量的平均值，反映了该随机变量的中心位置。方差则

度量了随机变量取值的离散程度。对于离散随机变量，期望和方差的

计算方法为分别乘以对应的概率后求和；对于连续随机变量，则需使

用积分计算。

二、抽样与估计

为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。——张载

1.样本和总体(SampleandPopulation)

在统计学中，样本是从总体中选取的一部分观察值。总体是研究对

象的全体，而样本是从总体中提取的部分，旨在通过样本推断总体的

特征。

2.抽样分布(SamplingDistribution)

抽样分布是指样本统计量的概率分布。常见的抽样分布包括正态分

布、t分布、卡方分布等。抽样分布的性质对于统计推断至关重要。

3.估计(Estimation)

估计是根据样本数据对总体属性进行推断的过程。点估计得到一个

单一的数值作为总体参数的估计值，如样本均值估计总体均值。区间

估计则给出一个范围，估计参数可能落在其中。

三、假设检验

1.假设检验的基本概念

假设检验是统计推断的基本方法之一，用于判断样本数据是否可以

支持对总体参数的某个假设。假设检验涉及到零假设(NullHypothesis)

和备择假设(AlternativeHypothesis)的建立。

2.关键步骤

假设检验的关键步骤包括设定假设、选择适当的检验统计量、计算

p值和进行决策。p值是样本数据支持零假设的程度，根据设定的显著

性水平（通常为0.05）来决定是否拒绝零假设。

学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。——黄睎

四、回归分析

1.简单线性回归

简单线性回归分析是研究两个变量之间线性关系的方法。通过拟合

最优直线，可以预测一个变量（因变量）对另一个变量（自变量）的

变化情况。

2.多元回归

多元回归分析考虑多个自变量对因变量的影响。通过构建线性回归

模型，可以探索多个变量对因变量的相对贡献。

五、统计软件的应用

1.SPSS

SPSS是一种常用的统计软件，提供了丰富的统计分析和数据处理

功能，包括描述统计、频率分析、回归分析、方差分析等。它能够快

速、