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2010-2023历年奥林匹克初中数学训练题

第1卷

一.参考题库(共25题)

1.如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，△ACD与△BCD的周长相等，△ABE与△CBE的周长相等，记△ABC的面积为S.若∠ACB=90°，则AD·CE与S的大小关系为(???).

A、S=AD·CE?????B、SAD·CE?????C、S

2.(20分)实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.

3.已知方程x2+x-1=0的两个根为α、β.则的值为???????.

4.如图，以PQ=2r(r∈Q)为直径的圆与一个以R(R∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R、r的值可能是(???).

A.R=5，r=2B.R=4，r=3/2

C.R=4，r=2D.R=5，r=3/2

5.设n=9+99+…+99…9(99个9).则n的十进制表示中，数码1有(???)个.

A．50

B．90

C．99

D．100

6.如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，延长边BC到点P，使得△PAB与△PCA相似.则PC的长是(???).

A．7

B．8

C．9

D．10

7.在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中，有(???)个可以是这枚棋子出发的小方格.

A．6

B．8

C．9

D．10

8.已知m、n是两个连续正整数，mn，且a=mn，设x=，y=.下列说法正确的是(???).

A．x为奇数，y为偶数

B．x为偶数，y为奇数

C．x、y都为奇数

D．x、y都为偶数

9.设a、b、c为整数，且对一切实数x，(x-a)(x-8)+1=(x-b)(x-c)恒成立.则a+b+c的值为????????.

10.如图，在以O为圆心的两个同心圆图2中，MN为大圆的直径，交小圆于点P、Q，大圆的弦MC交小圆于点A、B.若OM=2，OP=1，MA=AB=BC，则△MBQ的面积为????????.

11.设a、b、c和S分别为三角形的三边长和面积，关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0的判别式为Δ.则Δ与S的大小关系为(???).

A．Δ=16S2

B．Δ=-16S2

C．Δ=16S

D．Δ=-16S

12.AD、BE、CF为△ABC的内角平分线.若BD+BF=CD+CE=AE+AF，则∠BAC的度数为????????.

13.在Rt△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，AB=1，分别以AB、BC、CA为边长向△ABC外作等边△ABR、等边△BCP、等边△CAQ，联结QR交AB于点T.则△PRT的面积等于(???).

(A)?????????(B)??????????(C)???????????(D)

14.(25分)在中，有多少个不同的整数(其中，[x]表示不大于x的最大整数)?

15.把1，2，…，2008个正整数分成1004组:a1，b1;a2，b2;…;a1004，b1004，且满足a1+b1=a2+b2=…=a1004+b1004.对于所有的i(i=1，2，…，1004)，aibi的最大值为???????.

16.下列四个命题:

①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形;②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形;③一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形;

④一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.

其中，正确命题的序号是???????.

17.(25分)已知(x+)(y+)=1.求证:x+y=0.

18.正方形ABCD的边长为5，E为边BC上一点，使得BE=3，P是对角线BD上的一点，使得PE+PC的值最小.则PB=???????.

19.已知f(x)=x2+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)，且=8a-3.则a的值是(???).

A．1

B．2

C．0或

D．

20.若不等式ax2+7x-12x+5对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是(???).

A．2≤x≤3

B．2x3

C．-1≤x≤1

D．-1x1

21.(20分)已知△ABC中，∠A∠B∠C，且∠A=2∠B.若三角形的三边长为整数，面积也为整数，求△ABC面积的最小值.

22.如图，已知在Rt△ABC中，AB=35，一个边长为12的正方形CDE