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题组22：几何证明选讲

【期中试题回忆】

真题训练1【14-15郑州47中期中】如图，和都经过两点，是的切线，交于点，是的切线，交于点，求证：.

答案

点拨辨析

略

因为是的切线，是的切线，根据弦切角等于同弧所对的圆周角，那么有

，

所以∽，故

所以

真题训练2【14-15河南省实验中学期中】如图，

四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．

〔1〕证明：∠D=∠E；

〔2〕设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．

答案

点拨辨析

〔1〕略；〔2〕略

〔1〕∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，

∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；

〔2〕设BC的中点为N，连接MN，那么由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，

∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，

∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由〔Ⅰ〕知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形

【思路点拨】根据圆内接四边形角关系求出，证明三角相等证明等边三角形。

真题训练3【13-14郑州一中期中】如右图，与圆相切于点，经过点的割线交圆于点，的平分线分别交于点.

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)假设，求的值.

答案

点拨辨析

〔1〕略；〔2〕

〔1〕∵是切线，是弦，∴，

∴.

∵，，∴.

〔2〕由〔1〕知，又∵△∽△，∴.

∵，∴，∴.

由三角形内角和定理可知，.

∵是圆的直径，∴，∴，

∴.

在Rt△中，，即，∴，∴.

真题训练4【14新课标1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE

.(Ⅰ)证明：∠D=∠E；

〔Ⅱ〕设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：

△ADE为等边三角形.

答案

点拨辨析

1、略

2、略

(Ⅰ)由题设知，A,B,C,D四点共圆，所以∠D=∠CBE，由得∠CBE=∠E,

故∠D=∠E

〔Ⅱ〕设BC的中点为N，连接MN，那么由MB=MC知,

又O在直线MN上，又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故,即，因此AD∥BC,故∠CBE=∠A,又∠CBE=∠E,又∠E=∠A,

由(Ⅰ)知，∠D=∠E，所以△ADE为等边三角形.

真题训练5【12新课标1】如图，分别为边的中点，直线交的外接

圆于两点，假设，证明：

〔1〕；

〔2〕

答案

点拨辨析

〔1〕略；〔2〕略

〔1〕，

〔2〕

考法、解法规律总结

【题型分析】

【考点】：等式的性质、根本不等式、绝对值不等式的证明、柯西不等式。

〔频率：3/5★★★〕

【考法分析】

分数：平均6分

题数：平均1题

题型：解答题

【解法模型】

绝对值不等式的证明；

根本不等式的应用；

柯西不等式的应用

针对性训练

1、如图，直线为圆的切线，切点为点在圆上，的角平分线交圆于点垂直交圆于点证明：

答案

点拨辨析

略

连结交于，得而，故，所以又因为，所以为圆的直径，，由勾股定理可得．

2、圆内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线．

〔Ⅰ〕求∠BAE的度数；

〔Ⅱ〕求证：

答案

点拨辨析

〔1〕；〔2〕略

〔Ⅰ〕在△EAB与△ECA中，因为AE为圆O的切线，所以∠EBA=∠EAC，∠EAB=∠ECA，因为△ACD为等边三角形，所以；〔Ⅱ〕容易证明△ABD∽△EAC，所以，即，因为△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，所以

3、如图，为直角三角形，，以AB为直径的圆交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M，求证：

〔Ⅰ〕O、B、D、E四点共圆；

〔Ⅱ〕．

答案

点拨辨析

〔Ⅰ〕略；〔Ⅱ〕略

此题主要考查几何证明、四点共圆、线段的比例关系等根底知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、读图能力、运算求解能力．第一问，利用AB为直径，得到，从而，利用两个三角形的三边都对应相等证明三角形全等，从而得到，从而四点共圆；第二问，由切割线定理得，再分析DH转化出AC、AB边，最后将DE转化为DC即可．

4、如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。的长为m，的长为n，AD,的长是关于的方程的两个根。

〔1〕证明：，，，四点共圆；

〔2〕假设，且，求，，，所在圆的半径。

答案

点拨辨析

〔1〕略；〔2〕

〔1〕根据韦达定理，得出边长的关系为，

有相似三角形的判定定理知△ADE～△ACB，即∠ADE=∠ACB，对角互补，那么四点共圆；

〔2〕取CE的中点G，DB的中点