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移码与浮点表示

课程目标理解移码表示掌握移码的定义、原理和应用。掌握浮点数表示理解浮点数的组成、表示方法和范围。学习IEEE754标准熟悉IEEE754标准的单精度、双精度和扩展格式。

数值表示概述计算机中，数值以二进制形式存储和处理，但对于不同的数据类型，其表示方式有所不同。例如，整数、浮点数和字符分别采用不同的编码方式。数值表示方式直接影响着计算机的运算效率和数据精度，因此理解不同数值类型的表示方法至关重要。

整数的存储与表示1二进制表示计算机使用二进制系统存储和处理信息，将整数转换为二进制形式。2补码表示负整数通常使用补码表示，以简化加减运算。3定点数表示定点数将小数点固定在某个位置，适用于表示整数或小数。

移码原理数值范围扩展移码将原码符号位不变，其余各位取反后加1，并将原码的0值转换为全0，有效扩展数值表示范围。比较大小简化移码将所有负数的符号位变为1，正数的符号位变为0，使得比较大小更直观，方便计算机处理。

正数移码概念正数的移码等于其真值加上$2^n$，其中$n$为该数的位数。例如，8位正数10的移码为10+128=138，用二进制表示为特点正数移码的最高位始终为1，便于判断正负数，也方便比较大小。

负数移码负数真值补码移码-1111111111000000100000001-2111111101000001000000010-3111111011000001100000011

移码的优缺点优点简化比较操作便于硬件实现缺点表示范围有限运算复杂度较高

浮点数概述浮点数是计算机中用于表示实数的一种数据类型，它可以表示小数、指数形式的数，以及超出整数范围的数。浮点数的表示方式与整数不同，它通常由三个部分组成：符号位、指数位和尾数位。浮点数的优点是可以表示更广泛的数值范围，但同时也会引入精度问题。

浮点数的组成符号位表示浮点数的正负号，用一位二进制数表示，0代表正数，1代表负数。指数位表示浮点数的指数部分，用若干位二进制数表示，决定浮点数的范围。尾数位表示浮点数的有效数字部分，用若干位二进制数表示，决定浮点数的精度。

浮点数表示1符号位表示正负2指数位表示小数点位置3尾数位表示小数部分

浮点数的范围2^32范围最大值-2^32范围最小值

归一化浮点数小数点前移将浮点数的小数点移到第一个非零数字的右边。尾数部分移动后的数字称为尾数部分，表示浮点数的有效数字。阶码部分记录小数点移动的位数，用来表示浮点数的量级。

规格化浮点数1定义阶码部分不全为0，也不全为12优点提高精度，避免表示相同的数3示例例如，1.25可以用规格化的浮点数表示为1.25×10^0

舍入误差1精度限制浮点数的表示范围有限，无法精确地表示所有实数，导致舍入误差。2舍入规则不同的舍入规则会导致不同的舍入误差，例如，向零舍入、向偶数舍入等。3累积误差多个运算的舍入误差可能会累积，导致最终结果的误差较大。

浮点数四则运算加法将两个浮点数的尾数对齐，然后进行加减运算。减法将减数的符号取反，然后执行加法运算。乘法将两个浮点数的尾数相乘，并将指数相加。除法将被除数的尾数除以除数的尾数，并将指数相减。

浮点数加法1对阶将两个浮点数的阶码对齐，使它们具有相同的阶码。2尾数相加将对阶后的两个浮点数的尾数相加。3规格化将加法结果规格化，确保尾数的最高位为1。

浮点数减法1对阶将两个操作数调整到相同的阶码，较小的阶码向较大的阶码对齐。2尾数相减将对阶后的两个尾数进行减法运算。3规格化对减法结果进行规格化处理，确保尾数的最高位为1。4舍入如果结果超出表示范围，则进行舍入操作。

浮点数乘法1对阶将两个浮点数的阶码对齐，使它们具有相同的阶码。2尾数相乘将两个浮点数的尾数相乘，得到乘积的尾数。3规格化将乘积的尾数规格化，并将阶码调整为正确的值。4舍入如果乘积的尾数超过了规定的位数，则需要进行舍入操作。

浮点数除法1对阶将除数和被除数调整到相同的阶码。2尾数相除将对阶后的尾数进行除法运算。3规格化将结果进行规格化处理，保证结果的精度和范围。

IEEE754浮点标准统一规范IEEE754标准定义了浮点数的表示、存储、以及运算规则，确保不同平台之间数据交换的兼容性。精度控制该标准规定了单精度、双精度和扩展精度浮点数格式，以满足不同的精度需求。异常处理标准定义了浮点运算中的异常情况，例如溢出、下溢、零除等，并规定了相应的处理方法。

IEEE754单精度格式符号位占1位，表示数的正负，0代表正数，1代表负数。指数位占8位，用来表示指数的大小，采用移码表示，偏移量为127。尾数位占23位，表示数值的有效数字部分，采用规格化表示，最高位为1。

IEEE754双精度格式1符号位1位表示正负号。2指数位11位，表示指数，使用移码表示。