第09讲 离散型随机变量及其分布列（人教A版2019选择性必修第三册）（解析版）.docx

第09讲离散型随机变量及其分布列

【人教A版2019】

·模块一离散型随机变量及其分布列

·模块二两点分布

·模块三课后作业

模块一

模块一

离散型随机变量及其分布列

1．随机变量与离散型随机变量

(1)随机变量

①定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们

称X为随机变量.

②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.

③随机变量与函数的关系

联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点相当于函数定义中的自变量，样本空间相当于

函数的定义域.

区别：样本空间不一定是数集，随机变量的取值X()随着试验结果的变化而变化，而函数是从非

空数集到非空数集的一一对应.

(2)离散型随机变量

可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量.

2．离散型随机变量的分布列

(1)定义

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，，，，我们称X取每一个值的概率P(X=)=

，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列.

(2)分布列的表格表示

X

x1

x2

xn

P

p1

p2

pn

分布列也可以用等式形式表示为P(X=)=，i=1，2，，n，还可以用图形表示.

(3)离散型随机变量分布列具有的两个性质

①0，i=1，2，，n；

②+++=1.

【考点1离散型随机变量】

【例1.1】（2023·全国·高二专题练习）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（????）

①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X1

②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离

③某同学射击3次，命中的次数X3

④某电子元件的寿命X4

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

【解题思路】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.

【解答过程】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；

对于②，沿直线y=2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故

对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；

对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量；

故选：C.

【例1.2】（2023下·高二课时练习）将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（）

A．两次掷出的点数之和

B．两次掷出的最大点数

C．第一次与第二次掷出的点数之差

D．两次掷出的点数

【解题思路】根据随机变量的定义，结合试验结果，逐项判定，即可求解.

【解答过程】A中，将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．

B中，两次掷出的最大点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．

C中，第一次与第二次掷出的点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，之差也都是随机变量，

D中，两次掷出的点数不是一个变量，所以不是随机变量．

故选：D.

【变式1.1】（2023下·高二课时练习）下列叙述中，是离散型随机变量的为（）

A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和

B．某人早晨在车站等出租车的时间

C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数

D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性

【解题思路】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.

【解答过程】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为5，是常量，A错误；

对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；

对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；

对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.

故选：C.

【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）下面给出四个随机变量：

①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；

②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；

③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；

④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；

其中是离散型随机变量的为（????）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

【解题思路】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.

【解答过程】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；

对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；

对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；

对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，