第10讲 拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）（6类热点题型讲练）（原卷版）.docx

第10讲拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）

知识点一：三角形面积问题

直线方程：

知识点二：焦点三角形的面积

直线过焦点的面积为

注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数

知识点三：平行四边形的面积

直线为，直线为

注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.

知识点四：范围问题

首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数

均值不等式

变式：

作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；

当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值

注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”

圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：

（1）（注意分三种情况讨论）

（2）

当且仅当时，等号成立

（3）

当且仅当时等号成立.

（4）

当且仅当时，等号成立

(5)

当且仅当时等号成立.

题型01椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）

【典例1】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知和为椭圆上两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过点且斜率为的直线交于另一点，求的面积.

【典例2】（2024·吉林通化·模拟预测）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆交于，两点，且，求实数的值和的面积.

【典例3】（2024·贵州毕节·二模）在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在线段上，且满足.

(1)当点在椭圆上运动时，求点的轨迹的方程；

(2)若曲线与，轴的正半轴分别交于点，，点是上第三象限内一点，线段与轴交于点，线段与轴交于点，求四边形的面积.

【变式1】（2024·天津·二模）已知椭圆的左?右顶点分别为和，上顶点为，左?右焦点分别为和，满足.

(1)求椭圆的离心率；

(2)点在椭圆上（异于椭圆左?右顶点），直线与直线交于点，线段与线段交于点，过中点作的外接圆的两条切线，切点分别为和，且的面积为，求椭圆的标准方程.

【变式2】（2024·天津·二模）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程．

【变式3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设椭圆的左顶点为，左焦点为，过点的直线交椭圆于点（不与顶点重合），交轴于点，且满足，若，求直线的方程.

题型02椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）

【典例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）记椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，直线，的斜率满足.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知椭圆上点处的切线方程是.若点为直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，求面积的最小值.

【典例2】（2024·湖南长沙·二模）已知椭圆中心在原点，左焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的左焦点作斜率存在的两直线、分别交椭圆于、、、，且，线段、的中点分别为、.求四边形面积的最小值.

【变式1】（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．

【变式2】（2024·辽宁丹东·二模）已知椭圆：的左右顶点分别为，，过的直线与交于点，点在上，.

(1)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；

(2)求面积的最大值.

【变式3】（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆，直线与轴交于点，过点的直线与交于两点（点在点的右侧）．

(1)若点是线段的中点，求点的坐标；

(2)过作轴的垂线交椭圆于点，连，求面积的取值范围．

题型03双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）

【典例1】（2024·甘肃酒泉·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1．

(1)求双曲线的方程；

(2)若双曲线的右顶点为，，过坐标原点的直线与交于E，F两点，与直线AB交于点，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的倍，求直线的斜率．

【典例2】（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线过点，.

(1)求双曲线C的渐近线方程.

(2)若过双曲线C上的动点作一条切线l，证明：直线l的方程为.

(3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.

【典例3】（23-24高二上·辽宁·期末）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的