第12讲 导数中极值的5种常考题型总结（解析版）.docx

第12讲导数中极值的5种常考题型总结

【考点分析】

考点一：函数的驻点

若，我们把叫做函数的驻点．

考点二：函数的极值点与极值

①极大值点与极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作，其中叫做函数的极大值点

②极小值点与极小值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作，其中叫做函数的极小值点

考点三：求可导函数极值的步骤

①先确定函数的定义域；

②求导数；

③求方程的根；

④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.

注意：可导函数在满足是在取得极值的必要不充分条件，如，，但不是极值点.

【题型目录】

题型一：求函数的极值与极值点

题型二：利用导函数图像判断极值

题型三：根据极值、极值点求参数的值

题型四：根据极值、极值点求参数的范围

题型五：证明函数存在极值点极值问题

【典型例题】

题型一：求函数的极值与极值点

【方法总结】

利用导数求函数极值的步骤如下：

（1）求函数的定义域；

（2）求导；

（3）解方程，当；

（4）列表，分析函数的单调性，求极值：

①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；

②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值

【例1】（2022·全国·高二课时练习）“”是“函数在处有极值”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分必要性的定义，结合极值的概念，判断题设条件间的推出关系，即可得答案.

【详解】若函数在处有极值，不一定有，如，在处无导数，但是极小值点；

反之，若，函数在处不一定有极值，如在处满足，但在处无极值．

所以“”是“函数在处有极值”的既不充分也不必要条件．

故选：D．

【例2】(2022石泉县石泉中学)函数的极小值为()

A．0 B． C． D．

【答案】A

【解析】由，得，

当时，，单调递增；

当或时，，单调递减；

所以当时，函数取得极小值，

极小值为.

故选：A.

【例3】（2022·北京大兴·高二期中）已知函数，则（????）

A．有极小值，无极大值 B．有极大值，无极小值

C．既有极小值又有极大值 D．无极小值也无极大值

【答案】C

【分析】求得，利用导数得到函数函数的单调性，结合极值的概念，即可求解.

【详解】由题意函数，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值.

故选：C.

【例4】（2022·全国·高三专题练习）函数在处（????）

A．有极大值 B．无极值 C．有极小值 D．无法确定极值情况

【答案】B

【分析】求出导函数，利用导数与极值的关系即可求解.

【详解】，

则，

令，解得，

令，解得，

令，或，

所以函数在单调递增；在单调递减，

所以在处无极值.

故选：B

【例5】（2023·全国·高三专题练习多选题）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（????）

A．是的最小值点

B．是的极大值点

C．是的极大值点

D．是的极大值点

【答案】BD

【分析】根据极值的定义、极值的性质和图象变换逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对A，是的极小值点，不一定是最小值点，故A错误；

对B，因函数与函数的图象关于x轴对称，故应是的极大值点，故B正确；

对C，因函数与函数的图象关于y轴对称，故应是的极小值点，故C错误；

对D，因函数与函数的图象关于原点对称，故是的极大值点，故D正确.

故选：BD.

【例6】（2022全国·高二期末）已知函数，下列结论中错误的是（????）

A．存在，使得

B．若，则函数的图像是中心对称图形

C．若是的极小值点，则在区间上单调递减

D．若是的极值点，则

【答案】C

【分析】由已知结合函数的值域、奇偶性、极值即可求解．

【详解】解：由三次函数值域为R知f(x)=0有解，故A项正确；

因为f(-x)=-x3+ax2-bx+c，则f(-x)+f(x)=2ax2+2c，当a=c=0时，f(-x)+f(x)=0，故B项正确；

若f(x)有极小值点，则f′(x)=0有两个不等实根x1，x2(x1x2)，f′(x)=3x2+2ax+b=3(x-x1)(x-x2)，

则f(x)在(-∞，x1)上是增加的，在(x1，x2)上是减少的，在(x2，+∞)上是增加的，即x0=x2，故C项错误；

若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0正确，D项正确，

故选：C．

【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数，则下列结论正确的是

A．在处有极大值 B．在处有极小值

C．在上单调递减 D．至少有3个