第14讲 解三角形中周长最大值及取值范围问题（原卷版）.docx

第14讲解三角形中周长最大值及取值范围问题

【考点分析】

考点一：解三角形中角的最值及范围问题

①利用锐角三角形，，求出角的范围

②利用余弦定理及基本不等式求角的最值：

考点一：解三角形中周长的最值及范围问题

①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围

②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值

【题型目录】

题型一：三角形角的最值及范围问题

题型二：三角形边周长的最值问题

题型三：三角形边周长的最值范围问题

【典型例题】

题型一：三角形角的最值及范围问题

【例1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A的最大值为（????）

A． B． C． D．

【例2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是（????）

A．1 B． C． D．

【例3】锐角的内角，，的对边分别为，，．若，则（????）

A． B．的取值范围是

C． D．的取值范围是

【例4】已知在锐角中，.

(1)证明：；

(2)求的取值范围.

【题型专练】

1．在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则（????）

A． B．

C． D．

2．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

题型二：三角形边周长的最值问题

【例1】已知的内角的对应边分别为，，，则的最小值为（????）

A．3 B． C． D．6

【例2】设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若的面积为，则以下结论中正确的是（????）

A．取不到最小值2

B．的最大值为4

C．角C的最大值为

D．的最小值为

【例3】已知的内角、、所对的边长分别为、、，且，若，，求：

(1)求的值；

(2)求的最大值.

【例4】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C．

(1)求角C；

(2)设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求CD的最小值.

【例5】三角形的内角的对边分别为，

(1)求；

(2)已知，求周长的最大值．

【题型专练】

1．在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，则的最大值为______，此时内角A的值为______

2.在平面四边形中，，，．

(1)若，求的长；

(2)求四边形周长的最大值．

3．在条件：①，②，③中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．

已知a，b，c分别为锐角的三个内角A，B，C的对边，，而且__________；

(1)求角B的大小；

(2)求周长的最大值．

4.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值.

5.已知，，分别为三个内角，，的对边，．

（1）求角；

（2）若，求的周长的最大值．

题型三：三角形边周长的最值范围问题

【例1】在锐角中，内角所对的边分别为．若，，则的取值范围为_____________；的最大值为__________．

【例2】设的内角，，的对边分别为，，已知，，要使为钝角三角形，则的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．

【例3】在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.

(1)求角的大小；

(2)求的取值范围.

【例4】平面四边形ABCD中，，AB=2，则AD长度的取值范围________.

【例5】某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，现欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM，PN，其中M，N分别在边界AB，AC上，小径PM，PN与边界BC的夹角都是，区域PMB和区域PNC内部种郁金香，区域AMPN内种植月季花．

(1)探究：观赏小径PM，PN的长度之和是否为定值？请说明理由；

(2)为深度体验观赏，准备在月季花区城内修建小径MN，当点P在何处时，三条小径（PM，PN，MN）的长度之和最少？

【例6】请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．

①；

②；

③．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．

(1)求角C；

(2)若，求△ABC周长的取值范围．

【例7】在中为角所对的边，且.

(1)求角的值；

(2)若，求的取值范围.

【例8】在中，内角的对边分别为，且．

(1)求角；

(2)若为锐角三角形，求的取值范围．

【题型专练】

1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（????）

A．

B．若，且的面积为，则的最小边长为2

C．若时，是唯一的，则

D．若时，周长的范围为

2．锐角的内角，，的对边分别为，，．若，则（????）

A． B．的取值范围是

C． D．的取值范围是

3．已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，