有理数域上的多项式.ppt

2.8有理数域上的多项式有理数域上的多项式简称有理系数多项式.本节我们讨论有理系数多项式的可约性以及有理系数多项式的有理根的求法.

一、有理系数多项式的可约性引理2.16（高斯(Gauss)引理）两个本原多项式的乘积仍是本原多项式.

定理2.17（艾森施坦因（Eisenstein）判别法）设是一个整系数多项式.如果有一个素数使得则在有理数域上不可约．推论2.17有理数域上存在任意次的不可约多项式.

①Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而非必要条件．注意：也就是说，如果一个整系数多项式不满足Eisenstein判别法的条件，则它可能是可约的，也可能是不可约的．②有些整系数多项式不能直接用Eisenstein判别法来判断其是否可约，此时可考虑用适当的代换使满足Eisenstein判别法的条件，从而来判定原多项式不可约．

对于某些整系数多项式来说，作适当线性代换后再用Eisenstein判别法判定它是否可约是个可行的多项式无论作怎样的代换都不能使满足Eisenstein判别法的条件（其中说明：办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在都是整数，

有理系数多项式的有理根的求法

定理2.19设是一个整系数多项式.如果有理数是的一个根，这里u，v是互素的整数，则（i）推论设(i)(ii)(ii)

先找出f(x)所有可能的有理根；利用综合除法检验哪个是f(x)的根.如果f(x)的次数不高，也可直接代入多项式进行检验.推论最高次项系数为1的整系数多项式的有理根一定是整数，并且是常数项的因数.分析：