2025版高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差练习含解析新人教A版选修2_3.docxVIP

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2.3.2离散型随机变量的方差

课时过关·实力提升

基础巩固

1若X的分布列如下表所示,其中p∈(0,1),则()

X

0

1

P

p

q

A.E(X)=p,D(X)=pq

B.E(X)=q,D(X)=pq

C.E(X)=p,D(X)=1-p2

D.E(X)=q,D(X)=1-p2

解析:由分布列知随机变量X听从两点分布,

所以E(X)=q,D(X)=pq.

答案:B

2已知ξ的分布列为

ξ

-1

0

1

P

1

1

1

若η=2ξ+2,则D(η)的值为()

A.

解析:E(ξ)=-1×

D(ξ)=

则D(η)=D(2ξ+2)=4D(ξ)=

答案:D

3已知随机变量ξ听从二项分布,即ξ~B(n,p),且E(ξ)=7,D(ξ)=6,则p等于()

A.

解析:依据听从二项分布的随机变量均值和方差的计算公式,可得np=7,np(1-p)=6,解得p=

答案:A

4已知随机变量ξ的分布列如下,若E(ξ)=15

ξ

1

2

3

P

0.5

x

y

A.

解析:由分布列性质,得x+y=0.5.

∵E(ξ)=

∴D(ξ)=

答案:B

5甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ξ,η,ξ和η的分布列分别为

ξ

0

1

2

P

6

1

3

η

0

1

2

P

5

3

2

甲、乙两名工人的技术水平较好的为()

A.一样好 B.甲

C.乙 D.无法比较

解析:工人甲生产出次品数ξ的均值和方差分别为:

E(ξ)=0×

D(ξ)=(0-0.7)2×

工人乙生产出次品数η的均值和方差分别为:

E(η)=0×

D(η)=(0-0.7)2×

由E(ξ)=E(η)知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但D(ξ)D(η),可见乙的技术比较稳定.

答案:C

6若随机变量ξ的分布列为P(ξ=m)=1

A.0 B.2

C.4 D.无法计算

解析:在分布列中,概率和为1,

则a+13

∵E(ξ)=2,∴

∴m=6-2n.

∴D(ξ)=

∴当n=2时,D(ξ)取最小值0.

答案:A

7若p为非负实数,随机变量X的分布列为

X

0

1

2

P

1

p

1

则E(X)的最大值是,D(X)的最大值是.?

解析:由分布列性质可知p∈

则E(X)=p+1∈1,32,故

又D(X)=

∵p∈

∴当p=0时,D(X)取得最大值1.

答案:3

8甲、乙两个野生动物爱护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个爱护区内每个季度发觉违反野生动物爱护条例的事务次数的分布列分别为

甲:

ξ

0

1

2

3

P

0.3

0.3

0.2

0.2

乙:

η

0

1

2

P

0.1

0.5

0.4

试评定这两个爱护区的管理水平.

解:甲爱护区违规次数ξ的均值和方差为E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,

D(ξ)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.

乙爱护区违规次数η的均值和方差为

E(η)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(η)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.

因为E(ξ)=E(η),D(ξ)D(η),所以两个爱护区内每个季度发生的违规事务的平均次数相同,但甲爱护区的违规事务次数相对分散和波动,乙爱护区内的违规事务次数更集中和稳定.

实力提升

1从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事务是相互独立的,并且概率都是2

A.

解析:由随机变量ξ听从二项分布,

即ξ~B3,25,可得D(

答案:B

2设一次试验胜利的概率为p,进行100次独立重复试验,当p=时,胜利次数的标准差的最大值为.?

解析:D(ξ)=np(1-p)≤n·p+1-p22=n4,等号在p=1-p,即

答案:1

3随机变量ξ的分布列为

ξ

-1

0

1

P

a

b

c

其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)=

解析:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.

∵E(ξ)=13

得

∴D(ξ)=

答案:5

4盒中有2个白球,3个黑球,从中任取3个球,以X表示取到白球的个数,η表示取到黑球的个数.给出下列各项:

①E(X)=

③E(η2)=E(X);④D(X)=D(η)=

其中正确的是.(填上全部正确项的序号)?

解析:X的分布列为

X

0

1

2

P

1

3

3

E(X)=0×

E(X2)=02×

D(X)=E(X2)-(E(X))2=

η的分布列为

η

1

2

3

P

3

3

1

E(η)=1×

E(η2)=12×

D(η)=E(η2)-(E(η))2=

答案:①②④

5某同学向如图所示的圆形靶投