河北省承德市2025届高三上学期期末数学试题（解析版）.docx

河北省承德市2025届高三上学期期末数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意得但∴．

故选：A.

2.在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【答案】D

【解析】由题意得，所以在复平面内对应点位于第四象限．

故选：D.

3.2024年6月至10月全国进出口总值同比增长速度依次为，，则该组数据的极差与中位数之和为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】将数据按从小到大的顺序排列：，

由题意得该组数据的极差为，中位数为，

则该组数据的极差与中位数之和为．

故选：B.

4.将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】由题意得

故选：C.

5.已知奇函数的定义域为，且在上的图象如图所示，则函数的零点个数为（）

A.7 B.6 C.5 D.4

【答案】B

【解析】令得或.

如图，画出在上的图象与直线，直线．

由图可知，的图象与直线有5个公共点，

的图象与直线仅有1个公共点，

则的零点个数为．

故选：B.

6.已知是椭圆的右焦点，若过点且垂直于轴的直线被截得的弦长等于点到直线距离的一半，则的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】根据题意，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，

则，得，

即，所以的离心率为．

故选：C.

7.已知函数，则（）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】由题意得的定义域为，，

因为，所以恒成立，所以是减函数．

又因为，

由单调性可知，．

故选：B.

8.《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（）

A.715种 B.572种 C.312种 D.286种

【答案】D

【解析】本题可转化为将14个大小相同，质地均匀的小球分给甲，乙，丙，丁4个人，每人至少分1个，利用隔板法在中间13个空隙（两端除外）当中插入3个隔板，可得分配的方案数为，所以不同的分配方法有286种．

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知的内角的对边分别为为的中点，，则（）

A. B.

C.的面积为 D.

【答案】ABD

【解析】因为为的中点，所以，则，A正确．由余弦定理得，则，B正确；

由，得，所以，C错误；

由，得，则，D正确．

故选：ABD.

10.已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线与双曲线的上支交于两点，的长等于实轴长的2倍，且，则（）

A.的焦距为

B.的渐近线方程为

C.

D.的周长为

【答案】CD

【解析】

由题意得，由双曲线定义得

所以．

由，得，即．

即解方程组得

所以．

由，得，得，，

所以的焦距为，渐近线方程为，，故A、B错误，C正确；

又的周长为，故D正确；

故选：CD.

11.已知正三棱锥外接球的表面积为，则下列结论正确的是（）

A.正三棱锥外接球的体积为

B.当时，点到底面距离为2

C.若满足条件的正三棱锥存在两个，则

D.正三棱锥体积的最大值为

【答案】ACD

【解析】设正三棱锥外接球的球心为，半径为．由，得，所以正三棱锥外接球的体积为，A正确；

设，点到底面距离为，则外接圆的半径为，

点到球心的距离为，由，得，

当时，，得，B错误；

若满足条件的正三棱锥存在两个，则方程有两个正解，

则Δ=36?43a20,

由，得，则正三棱锥的体积为．

设函数，则，得在上单调递增，在上单调递减，

所以，D正确．

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.若，则______，______．

【答案】3

【解析】由，得，

所以．

故答案为：3；.

13.在正方体中，是上靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为______．

【答案】

【解析】如图，

连接．平面，所以直线与平面所成的角为．

设，易得，

，

所以．

故答案为：.

14.若，则______．

【答案】3

【解析】两边同时除以得，

得．

令函数，则，

令，．

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以．

易得，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，，单调递增，

所以．

因为，

所以，得．

故答案为：3.