初等数论不定方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

1、什么是不定方程？

顾名思义即方程解不定.普通地有;2、主要研究问题

a.不定方程有解条件

b.有解情况下，解个数

c.有解情况下，怎样解;;;;3、二元一次不定方程有解情况下解结构

定理：设是方程一组解，则不定方程有没有穷解，其一切解可表示成

其中;证：把代入不定方程成立，所以是方程解。

又设是不定方程任一解，又因为是一特解

则有,即有

有

因为

令即得到了方程解。;方程有解情况下不定方程解法

（1）观察法：当a,b绝对值较小时可直接观察不定方程一组特解，然后用

得到其全部解。

;3、整数分离法：当a,b中系数不一样时，用绝对值较小系数后变量表示另一个变量，经过变量替换得到一个新不定方程。如此重复，直到一个参数系数为1.从而得到不定方程解。

4、化为同余方程

（同余方程中再讲）

注:方法(1)(3)(4)用得较多,(2)不太实用.

;例1：求解不定方程

解：因为（9，21）=3，3|144所以有解；

化简得考虑,

有解

所以原方程特解为，

所以方程解为

;;§2多元一次不定方程

2.1定义：形如

不定方程多元一次不定方程。

;充分性：用数学归纳法(n=2）时已证

假设对n-1时条件是充分，令

则方程有解，设解为

又有解，

设为,这么就是方程解。

;注：从证实过程也提供了方程解法。

;例1：求不定方程整数解.

解因为（25，13）=1，（1，7）=1|4，所以方程有解我们将它分为两个二元一次不定方程来求解

25x+13y=t,t+7z=4.

先求t+7z=4解为t=4-7u，z=u。

因为25*(-1)+13*2=1，所以25x+13y=1特解为

=-1，=2

故25x+13y=t解为x=-t-13v，y=2t+25v

所以解为

x=-4+7u-13v，y=8-16u+25v，z=u.u，v为整数。;§3勾股数定义：普通地称x2+y2=z2正整数解为勾股数

例（3，4，5），（5，12，13）（8，15,17）为勾股数

x2+y2=z2方程解分析

（1）若x，y，z是方程解，则dx，dy，dz也是方程解

（2）由（1）只要考虑（x，y，z）=1解即可，而实际上只要（x，y）=1即可，假设（x，y）=d，则d|x，d|y，则有d|z;（3）由（2）可设（x，y）=1，则x，y为一奇一偶。

若x，y都为奇数，则z为偶数，则方程左边为4K+2，右边为4K，矛盾。所以x，y为一奇一偶。

由上分析，我们对（x,y）作了一些限制，而这些限制并不影响其普通性。

即可假设在x0，y0，z0，（x，y）=1，2∣x条件下给出x2+y2=z2通解公式。

;定理：在条件x0，y0，z0，（x，y）=1，2∣x条件下x2+y2=z2通解公式为

x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，

ab0,(a,b)=1，a,b一奇一偶。;证：设u，v，w是方程解，令