福建省泉州市2025届高三上学期质量监测（二）数学试题（解析版）.docx

福建省泉州市2025届高三上学期质量监测（二）数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知向量，，且，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】因为向量，，且，则，

解得.

故选：C.

2.设集合，，若，则（）

A.2 B.1 C.0 D.-1

【答案】D

【解析】由题意可得：，解得：或，

当时，，，不符合舍去，

当时，，，符合，

故，

故选：D.

3.已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由得，，

故选：B.

4.已知定义在上的函数为奇函数，且，则（）

A.-2 B.0 C.1 D.2

【答案】B

【解析】因为函数为奇函数，

所以，令有，又由，所以，

故选：B.

5.（）

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】C

【解析】

.

故选：C.

6.已知正三棱台的高为4，的内切圆和的外接圆的半径均为1，则该正三棱台的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】和均为等边三角形，设边长为，

故，又，

故，解得，故，

在中，由正弦定理得，解得，

故，

故正三棱台体积为.

故选：A.

7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的渐近线上，与轴垂直，点在轴上，.若，则的离心率为（）

A. B. C.2 D.

【答案】B

【解析】如图：不妨设点在第一象限.

因为与轴垂直，，且，

所以.

所以点坐标为.

所以.

所以.

故选：B.

8.若函数有个零点，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】设，则对有，

对有.

所以在上递增，在上递减，

这表明，且等号成立当且仅当.

①当时，对有，故至多有一个零点，不满足条件；

②当时，取充分小的正数，使得，，；

再取充分大的正数，使得，，，则，且

，，，

从而根据零点存在定理，可知有个零点，满足条件；

③当时，由于当时，单调递减，故在的范围内至多有一个零点.

而当时，有，且若，则必有，即.

所以在的范围内至多有一个零点.

二者结合，可知至多有两个零点，不满足条件.

综合①②③，可知的取值范围是.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）

A.的最小正周期为

B.

C.在区间上单调递减

D.在区间上的取值范围为

【答案】AD

【解析】对于A，由题得，

所以的最小正周期为，故A正确；

对于B，，

，

所以，故B错误；

对于C，，则，

因为函数在上单调递增，

所以函数在区间上单调递增，故C错误；

对于D，，则，则，

所以在区间上的取值范围为，故D正确.

故选：AD.

10.设正项等比数列的前项和为，的前项积为.若，，则（）

A.数列等差数列 B.

C. D.的最大值为

【答案】ACD

【解析】对于选项A：设公比为q，

因为，所以，

故，

由为常数，故选项A正确.

对于选项B：，所以，

解得：或（舍），所以，故选项B错误.

对于选项C：，故选项C正确.

对于选项D:

由于，其图象对称轴为，

，故或时，的最大值为，故选项D正确.

故选：ACD.

11.已知正方体的棱长为2，点是的中点，点满足，点在上，，则下列说法正确的是（）

A.若，，则平面

B.若，则

C.若，则二面角的正弦值为

D.若，则三棱锥的体积的最大值为

【答案】BCD

【解析】

如图建立空间直角系，

则,

则，

则，

选项A：若，，，

设平面的法向量为，则由，，

可知，令，得，故，

由，故A错误；

选项B：，

，，故B正确；

选项C：若，，设，

，

由得，得，

故，又，

设平面的法向量为，

则，

令，得，故，

平面的法向量为，

设二面角的平面角为，则，

故，故C正确；

选项D：若，则，，

由得，得，

当时，，

当时，，当且仅当，即时等号成立，

平面的法向量为，

点到平面的距离，

，

故D正确，

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数，则_____.

【答案】

【解析】，所以，

故答案为：.

13.写出一个与直线和轴都相切且半径为1的圆的标准方程_____.

【答案】，或，或，或.（答案不唯一）

【解析】设圆的标准方程为，根据题意有，

圆心到直线的距离为，

当时，或；当时，或；

所以满足条件的圆的标准方程为，或，

或，或.

14.在平面四边形中，，，，，则_____；若点是的中点，则当取得最大值时，四边形的面积